Logaritmo all'esponente

[Detective005]

Salve , mi trovo difronte alla seguente espressione:
$5^(-4log_25(1/x))$
per quanto possa sembrare semplice, mi ha fatto comunque sorgere dei dubbi.
Allora io l'ho risolta in questo modo
$5^(-4log_25(1/x))$=$5^(-4log_5(1/x)/log_5(25))$=$5^(-4log_5(1/x)/2)$=$5^(-2log_5(1/X)$=
=$5^(log_5(1/X)^-2$=$5^(log_5(x)^2$=$x^2$
Innanzitutto volevo chiedervi se il procedimento era corretto e poi di fugare, se è possibile, i seguenti dubbi:
Poiché l'argomento è un incognita e so che per xy>0 $log_a(xy)$=$log_aabs(x)+log_aabs(y)$, , mi chiedo se xy >0 deve valere anche per la divisione e in caso affermativo allora, se avessi dovuto inserire il valore assoluto nella soluzione, il significato della soluzione sarebbe stato differente?

[axpgn]

Tu non stai risolvendo ma semplificando che è un'altra cosa ...
Io avrei portato "dentro" il $-4$ e poi avrei fatto il cambiamento di base ... de gustibus ...
Il dubbio non l'ho capito ...

[Detective005]

ok, grazie mille

[BayMax]

Ciao @Detective005 !

Provo a rispondere anche io, sebbene in ritardo, alle tue domande solo perché ho notato che hai appena scritto su questo post. Cerca di capire da dove viene fuori quella proprietà che hai scritto: per $xy>0 rArr log_a(xy)=log_a|x|+log_a|y|$. Questa formula richiede determinate condizioni per poter essere applicata e, cioè, necessita che il logaritmo esista e, ti ricordo, il logaritmo esiste solo se il suo argomento è $>0$. Ora, a sinistra dell'uguale, nella precedente formula, hai, all'argomento, un prodotto di incognite che deve restituirti un valore $>0$ e ciò si verifica in due casi: o $x>0 ^^ y>0$ oppure se $x<0 ^^ y<0$ in quanto il prodotto di due fattori è $>0$ se entrambi sono positivi oppure negativi. A destra dell'uguale, però, hai diviso l'argomento ottenendo due nuovi logaritmi i cui argomenti devono, per l'esistenza della funzione logaritmo, essere necessariamente $>0$ e dunque, dato che nel prodotto è contemplato anche il caso in cui $x<0 ^^ y<0$, dobbiamo mettere i moduli affinché gli argomenti risultino positivi. Tutto questo per dire che, di base, prima di partire con un esercizio sui logaritmi, andrebbero fatte le condizioni di esistenza e cioè porre l'argomento del logaritmo $>0$. Ora, negli esercizi con semplificazioni, spesso si danno per scontate queste condizioni di esistenza (ed infatti, in molte consegne degli esercizi, trovi scritta una cosa del tipo "semplificare le seguenti espressioni nel campo di esistenza delle stesse"), ma, per chiarire i tuoi dubbi, vanno fatte: tu hai $1/x>0 rArr x>0$ e dunque, fatta questa premessa, non hai necessità di mettere valori assoluti. Ad ogni modo, spero tu abbia capito che anche se hai una divisione, la condizione della precedente espressione deve rimanere valida.

Per farti un esempio: se hai $log_a(x^2)$ non puoi scrivere, a prescindere, che $log_a(x^2)=2log_a(x)$ in quanto, se $x<0$ il membro a sinistra dell'uguale non crea problemi poiché l'argomento è $>0$ (un numero negativo, al quadrato, mi restituisce un valore positivo), mentre il membro a destra se $x<0$ è un qualcosa di privo di senso poiché l'argomento del logaritmo è $<0$. Dunque, per applicare bene quella formula, dovresti scrivere $log_a(x^2)=2log_a(x) if x>0$ oppure $log_a(x^2)=2log_a(|x|)$.

Spero di aver chiarito un po' di più i tuoi dubbi e non averli peggiorati . Per altre delucidazioni chiedi pure.

Saluti

BayMax