08/11/2019, 18:04
08/11/2019, 19:48
08/11/2019, 21:02
andrea.cravotta ha scritto:salve a tutti. sono un docente di matematica in un liceo, e pensando alle lezioni che terrò nei prossimi giorni mi è sorto un dubbio che spero di risolvere qui, in modo da poter poi riferire nozioni più corrette possibile ai miei studenti.
il dubbio riguarda i limiti ad infinito di funzioni contenenti espressioni irrazionali che portano verso forme indeterminate.
come si sa la prassi vuole che tali limiti si risolvano solitamente per via algebrica "razionalizzando" l'espressione della funzione. ad esempio, nel calcolare $ lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2 + x + 1)+ x) $ normalmente si moltiplica per $ \frac{\sqrt(x^2+x+1)-x}{\sqrt(x^2+x+1)-x} $ in modo da ottenere un'espressione che non porti a forme indeterminate. non scrivo tutti i passaggi, ma così facendo si arriva ad un valore pari a $-\frac{1}{2}$.
il metodo funziona, chiaro, ma è macchinoso e di difficile digestione da parte degli studenti.
quello che mi chiedo è perchè invece non funzioni, in una situazione come questa, quel teorema che afferma che ad infinito i polinomi si comportano come i loro termini con esponente più alto.
se lo applicassi qui otterrei $ lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2 + x + 1)+x)=lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2)+x)=lim_(x -> -\infty)(-x+x)=0 $ ossia un valore differente da quello ottenuto con la razionalizzazione. credendo fermamente nel teorema di unicità del limite, mi fido della prassi e penso che il valore 0 sia errato, ma mi sfugge il perchè...
09/11/2019, 07:29
@melia ha scritto:Non funziona perché non sono due polinomi, ma è una differenza tra due forme $sqrt(x^2+x+1)$ e $x$ con lo stesso ordine di infinito, la loro differenza genera una forma indeterminata $+oo - oo$.
09/11/2019, 07:33
alessio76 ha scritto:
[...]
Ti è già stato risposto correttamente, comunque se provassi ad applicare l'idea della dimostrazione del risultato che citi vedresti che si ricade in un'altra forma di indecisione:
per $x<0:$ $\sqrt(x^2 + x + 1)+ x =-x(\sqrt(1 + 1/x + 1/x^2)-1)$
che ti dà la FI $0\cdot \infty$...
09/11/2019, 07:38
@melia ha scritto:Non funziona perché non sono due polinomi, ma è una differenza tra due forme $sqrt(x^2+x+1)$ e $x$ con lo stesso ordine di infinito, la loro differenza genera una forma indeterminata $+oo - oo$.
09/11/2019, 08:31
09/11/2019, 15:27
andrea.cravotta ha scritto:$ lim(f(x)-g(x)) = lim (f(x)(1-\frac{g(x)}{f(x)})) $ da cui si capisce che il risultato sarà una costante solo se il limite del rapporto sarà uno (ed è anche il caso più difficile, in quanto ci porta alla forma di indecisione $ \infty \cdot 0 $ )
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