Buongiorno a tutti !
Oggi mi rivolgo a voi per chiedervi, gentilmente, di aiutarmi a dimostrare due analoghe formule risolutive delle disequazioni con moduli. In particolare mi riferisco alle seguenti:
$|A(x)|>B(x) rArr A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x) $ e $|A(x)|<B(x) rArr -B(x)<A(x)<B(x)$.
So che valgono e so come utilizzarle. So che discendono direttamente dalla definizione di modulo nel caso in cui $B(x)$ sia una costante indipendente da $x$. Ma come faccio a dimostrarlo per una generica funzione in x ?
Io ho ragionato così:
Prendiamo la seconda (per la prima immagino sia analogo): $|A(x)|>B(x) rArr A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x) $. Posso scrivere:
${(A(x)>=0),(A(x)>B(x)):}$ $vv$ ${(A(x)<0),(A(x)<-B(x)):}$
Ora divido i due casi in base al segno di $B(x)$:
se $B(x)>=0$ dal primo sistema si ha $A(x)>B(x)$ e dal secondo $A(x)<-B(x)$ e così è dimostrata la formula nel caso di $B(x)>=0$.
Ma, nel caso $B(x)<0$ (che rende immediatamente ovvia la relazione $|A(x)|>B(x)$) si ha: dal primo sistema $A(x)>=0$ e dal secondo $A(x)<0$, come era lecito aspettarsi da quanto detto un momento fa, ma come faccio a ricondurre queste ultime relazioni alla formula risolutiva $A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x)$ indipentemente dal segno di $B(x)$ ?
Grazie sin da ora a quanti risponderanno e, come sempre,
saluti
BayMax