Integrale per sostituzione

[ZfreS]

Questo integrale $int sqrt(x^2-36)/x^2dx$ va risolto per sostituzione. Non riuscendo a capire quale fosse quella giusta ho sbirciato e risultava $x=6sect$ quella corretta. L'integrale l'ho risolto correttamente ma scrivo questo post per chiedervi come si giunge a intuire quella sostituzione. Grazie in anticipo per i consigli!

[Bokonon]

Chi ha detto che è quella "corretta"?
E' la più semplice.

Come fai a fare un sostituzione trigonometrica?

[ZfreS]

In che senso? Mi capita raramente in due o tre casi noti. Dovessero capitarne altri diversi da quelli non saprei come operare. Esiste un metodo generale?

[Bokonon]

Esiste un metodo generale?

Certo, la logica stessa della sostituzione.
Vedi che c'è una differenza (o in altri casi una somma) di due quadrati sotto radice. La prima cosa a cui pensi è il teorema di pitagora. Quindi disegni un triangolo rettangolo in cui ovviamente l'ipotenusa deve avere lunghezza $x$ e un cateto lunghezza $6$ (nel caso di una somma sotto radice invece saranno le lunghezze dei due cateti ovviamente), da cui il secondo cateto avrà lunghezza $sqrt(x^2-36)$.



Adesso vuoi mettere i rapporti fra i lati in funzione dell'angolo $t$.
Le possibilità sono:
$cos(t)=6/x$ quindi $sec(t)=x/6$
$sin(t)=sqrt(x^2-36)/x$ quindi $cosec(t)=x/sqrt(x^2-36)$
$tan(t)=sqrt(x^2-36)/6$ quindi $cot(t)=6/sqrt(x^2-36)$

Puoi provarle tutte e scoprire sulla tua pelle le difficoltà che si incontrano con le varie sostituzioni.
E alla fine dirai "Beh, ma $sec(t)=x/6 rArr x=6sec(t)$ è davvero la più semplice"

Ma finora come hai fatto le sostituzioni trigonometriche?
E come ricavavi eventuali ri-sostituzioni dove non compariva la sostituzione iniziale?

[ZfreS]

Semplicemente quando capitava una radice con $x^2$ sostituivo $sint$ o $cost$ per ricavare con la prima relazione fondamentale un termine al quadrato da semplificare con la radice. Ti ringrazio per avermi fornito questo metodo davvero utile. Ma volevo chiederti, se nella risoluzione di un integrale dovesse capitare di utilizzare certe identità trigonometriche, come farei a ricavarle sul momento?

[Bokonon]

Disegnando il triangolo...etc etc.
Prova a risolvere il medesimo integrale ma con $x^2+36$....esplora le cose, o le dimentichi