Determinante di 2 matrici

[Aletzunny]

Data la matrice
$M=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ che ha determinante $1$

E la matrice $N=((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$

Con $k=2$ scambi nelle colonne di $N$, cioè scambiando l'ultima colonne di $N$ con la prima e la terza con la seconda, ottengo $M$
È quindi giusto fare che

$detN$ $=$ $(-1)^2$ $detM$

So che è un dubbio banale ma non ho trovato molto su questo "trucco".
Con Laplace viene ancora $1$ ma non ho la certezza della corretta del mio procedimento.

Grazie

[axpgn]

Nota che puoi passare da $M$ a $N$ scambiando due righe …

[Aletzunny]

Nota che puoi passare da $M$ a $N$ scambiando due righe …

Non dovrei scambiare $4$ righe di $M$ per ottenere $N$ ?

Cioè prima

$((0,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,0))$

e poi

$((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$ per ottenere $N$ da $M$ ?

Oppure dove sto sbagliando?

[axpgn]

Intendevo due scambi: prima con ultima e seconda con terza …

[Aletzunny]

Intendevo due scambi: prima con ultima e seconda con terza …

A ok...quindi entrambi i metodi sono giusti ?

Perché se scambio righe o colonne devo cambiare il segno del $det$ in base al numero di scambi giusto?

[axpgn]

Dato che il determinante della trasposta è lo stesso della matrice originale …

[Aletzunny]

Perdonami non ho capito come funziona applicato a $M$ e $N$


Il mio metodo però è corretto?

[axpgn]

Scambiare tra di loro due righe di una matrice quadrata equivale a cambiare di segno il determinante.
Ora, dato che il determinante di una matrice trasposta è lo stesso di quella originale, scambiare due colonne tra loro ha lo stesso effetto che scambiare due righe.

[Aletzunny]

Grazie mille