Problema di probabilità con Teorema di Bayes

[loref96]

Ciao a tutti, qualcuno sa aiutarmi con questo problema?
"Abbiamo tre urne uguali che contengono ciascuna 7 palline numerate da 1 a 7. Si estraggono consecutivamente tre palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell'urna, scegliendo un'urna a caso gettando un dado. Se esce un numero pari si sceglie la prima urna, se esce il numero 1 la seconda, altrimenti la terza. Sapendo che i tre numeri estratti sono tutti dispari, calcola la probabilità che provengano dalla prima urna. Puoi verificare che, essendo i contenuti delle urne uguali, la probabilità cercata è quella relativa alla scelta dell'urna lanciando il dado."
Grazie a chi vorrà aiutarmi.

[Bokonon]

Perchè non inizi scrivendo la formula di $P(U_1|3D)$?
Ovvero la probabilità che le tre estrazioni provengano dalla prima urna sapendo che sono tutte dispari.

[loref96]

Il procedimento che ho seguito è stato il seguente:
evento $E$: pesco 3 volte consecutive un numero dispari.
$E1$: pesco dispari una volta dall'urna 1;
$E2$: pesco dispari una volta dall'urna 2;
$E3$: pesco dispari una volta dall'urna 3;
$P(E)=(P(E1)+P(E2)+P(E3))^3=(1/2*4/7+1/6*4/7+1/3*4/7)^3=64/343$
$P(E|E1)$: probabilità di estrarre dispari 3 volte sapendo di estrarre dalla prima urna: $P(E|E1)=(4/7)^3=64/343$;
$P(U1)$: probabilità di estrarre 3 volte dalla prima urna: $P(U1)=(1/2)^3=1/8$
Applico th. Bayes: $P(U1|E)=(P(U1)*P(E|E1))/(P(E)))=1/8$.
Il risultato dovrebbe essere $1/2$, ma non capisco dove ho sbagliato, a maggior ragione tenendo conto del suggerimento scritto nel testo.

[Bokonon]

Così non va.

Scriviamo la formula di Bayes:$P(U_1|3D)=[P(3D|U_1)*P(U_1)]/[P(3D|U_1)*P(U_1)+P(3D|bar(U_1))*P(bar(U_1))$
$P(U_1)=1/2$ (=la prob. di pescare dalla prima urna)
$P(bar(U_1))=1-P(U_1)=1/2$ (=la prob. di NON pescare dalla prima urna)
$P(3D|U_1)=(4/7)^3$ (=la prob. di pescare tre numeri dispari dalla prima urna)
Infine anche $P(3D|bar(U_1))=(4/7)^3$ perchè la probabilità in generale di pescare un numero dispari da un'urna è sempre $4/7$...e non importa se faccio tre pescate dalla prima o dalla seconda o dalla terza o un misto fra le tre urne a piacere: perchè sono identiche e indistinguibili (questo era il senso del suggerimento).

Se fai le sostituzioni ottieni appunto $P(U_1|3D)=1/2$ in altre parole l'informazione sulle tre pescate è ininfluente ad aggiornare il mio giudizio a priori.

[loref96]

Non mi torna che $P(U1)=1/2$: non dovrebbe essere $(1/2)^3$? Altrimenti al numeratore moltiplico una probabilità relativa alle 3 pescate successive ($P(3D|U1)$) con una relativa alla singola pescata ($P(U1)$).

[tommik]

Te lo spiego diversamente, anche senza fare conti:

La distribuzione a priori è questa: è la scelta dell'urna lanciando il dado

$pi(u)={{: ( U_1 , U_2 , U_3 ),( 3/6 , 1/6 , 2/6 ) :}$

La verosimiglianza è la seguente¹

$p(ul(x)|U=u)=hat(p)$, $AAu in U$

Quindi è indipendente dall'urna scelta; in pratica hai che $p(ul(x)|u)=p(ul(x))$

A questo punto è evidente che la distribuzione a posteriori è

$pi(u|ul(x))=(pi(u)p(ul(x)|u))/(p(ul(x)))=pi(u)$

ciò dimostra quanto richiesto dalla traccia

verificare che, essendo i contenuti delle urne uguali, la probabilità cercata è quella relativa alla scelta dell'urna lanciando il dado."

e conferma la corretta soluzione di @bokonon (che saluto).

@loref96: prima di affermare che quanto ti viene detto "non ti torna" prova a riflettere.

Se vuoi fare un test per verificare se hai capito l'argomento ecco un buon esercizio che ho appena inventato apposta per te.
Se hai capito il funzionamento lo risolvi in 3 secondi altrimenti è un bagno di sangue.

Abbiamo un lotto di $N$ prodotti di cui $Ntheta$ difettosi, $0<theta<1$. Esaminiamo in successione ( quindi senza reimmettere il prodotto esaminato nel lotto iniziale) $n<N$ prodotti. Sapendo che fra gli $n$ prodotti esaminati ne abbiamo trovati esattamente $t<Ntheta$ difettosi, calcolare la probabilità che i difettosi siano tutti in posizione dispari (il primo, il terzo, il quinto ecc ecc esaminato).

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Note

1. non calcolo nemmeno la probabiltà richiesta tanto non mi interessa la probabilità specifica di estrarre 3 numeri dispari; la verosimiglianza è sempre quella qualunque urna venga scelta e ciò vale per qualunque probabilità si voglia calcolare: estraggo due pari, un pari e 3 dispari, 3 dispari estraendo le palline senza reimmetterle nell'urna ecc ecc ↑

[loref96]

Rileggendo il testo e la prima soluzione proposta da Bokonon penso di aver capito male il testo: avevo capito che il dato venisse lanciato prima di ogni pescata, e sulla base dell'esito si scegliesse ogni volta l'urna da cui pescare; invece si lancia solo all'inizio, e le tre pescate sono sicuramente nella stessa urna, indicata da questo unico lancio.
Corretto?

[Bokonon]

@loref96
E' esatto. Il problema dice "consecutivamente".
Pensavo tu fossi uno studente delle superiori: la risposta di @Tommik (che saluto) è esemplare per la generalità.
Se non ricordo male, tempo fa, @Tommik aveva inventato un esercizio simile con delle monete...

[tommik]

Se non ricordo male, tempo fa, @Tommik aveva inventato un esercizio simile con delle monete...

ricordi bene

[Bokonon]

@Tommik Ottimo. E voglio mettere ulteriormente alla prova la mia memoria perchè ricordo che pensai che il problema potesse essere generalizzato ulteriormente ammettendo una probabilità non uniforme nella scelta dei sacchetti a patto che i due sacchetti con ugual numero di monete avessero prob. identica di essere scelti.