Verifica limite con uso della definizione

[saso366]

Salve
Ho questo limite da verificare con la definizione:

$\lim_{x \to \3}1/(2x-1)=1/5$

A partire dalla disequazione

$|1/(2x-1)-1/5|<\epsilon$

Devo trovare un valore $\delta$
tale che se $|x-3|<\delta$
anche la disequazione di sopra è vera.
Tuttavia non riesco a trovare questo valore a partire dalla disequazione... Qualche suggerimento?

[gugo82]

Comincia a risolvere la disequazione.

È una disequazione fratta con valore assoluto e parametro, dovresti sapere come fare.

[saso366]

Ottengo

$(2/5)|(3-x)/(2x-1)|< epsilon$

La mia idea era quella di discutere per quali valori era positivo il denominatore
cioè per $x>1/2$
e poi moltiplicare ambo i membri per esso.
Di lì è facile ottenere la soluzione e il delta lo sceglierei minimo fra $1/2$ e la soluzione
Ma non sono sicuro della correttezza...

[@melia]

Non capisco perché tu non voglia svolgere quella benedetta disequazione:
$ (2/5)|(3-x)/(2x-1)|< epsilon $ diventa $ |(3-x)/(2x-1)|< 5/2epsilon $ e poi $-5/2epsilon <(3-x)/(2x-1)<5/2epsilon $ e adesso un bel sistemino e completi la soluzione, poi del $delta$ se ne parla una volta completata la parte algebrica.

[gugo82]

O anche, la disequazione è equivalente a $2|3-x|< 5epsilon |2 x - 1|$ nel C.E.: $x != 1/2$, che è una disequazione con due valori assoluti…

Ma il conto va comunque svolto (o nella maniera indicata da @melia, o in quella presentata qui sopra) prima di poter scegliere $delta$ senza patemi.

[saso366]

Ok
Le soluzioni del sistema sono

${\(x<1/2 vv x>(6+5epsilon) /(2+10epsilon))
, (x<(-6+5epsilon) /(-2+10epsilon) vv x> 1/2)
:}
$

Il risultato della disequazione è
$x<(-6+5epsilon)/(-2+10epsilon) vv x>(6+5epsilon)/(2+10epsilon)$

Stiamo valutando il limite per x tendente a 3 per cui l'intervallo che ci interessa è

$[(6+5epsilon)/(2+10epsilon), +oo) $

Ora cosa posso fare per ricavare il $delta$?

[@melia]

Non ci siamo. Le soluzioni all'interno del sistema sono
$ {\(1/2<x<(6+5epsilon) /(2+10epsilon)) , (x<1/2 vv x>(-6+5epsilon) /(-2+10epsilon) ) :}$
Mentre per trovare la soluzione del sistema, devi osservare che
$ (-6+5epsilon)/(-2+10epsilon) = (6-5epsilon)/(2-10epsilon)$ è maggiore di $(6+5epsilon)/(2+10epsilon) $ ogni volta che $0<epsilon <1/5$ e, poiché la soluzione deve valere per ogni $epsilon$ positivo piccolo a piacere, questa limitazione ci può andare bene.
La soluzione del sistema è
$ (6+5epsilon)/(2+10epsilon)<x<(6-5epsilon)/(2-10epsilon) $ che, puoi tranquillamente verificarlo, è un intorno di 3.
Per trovare il valore di $delta$ basta porre $delta = min(3-(6+5epsilon)/(2+10epsilon), (6-5epsilon)/(2-10epsilon)-3)= (25 epsilon)/(2+10 epsilon)$

[saso366]

Ok avevo sbagliato a risolvere il sistema perché avevo considerato $(6+5epsilon)/(2+10epsilon) $ maggiore di $1/2$
Per rendermi conto di chi era maggiore avevo sostituito $epsilon$ con valori compresi fra 0 e 1 ma risultava comunque maggiore di 0,5
Per il resto il procedimento mi è chiaro: dopo aver ottenuto quella soluzione mi basta prendere $delta$ minimo fra i due estremi dell'intervallo in cui la disequazione (e quindi la definizione di limite) è veritiera