Dimostrazione teorema di unicità del limite

Messaggioda Emanuele09 » 16/01/2020, 17:39

Immagine
In questa dimostrazione a un certo punto viene introdotto come ipotesi questo: $\epsilon<(l'-l)/2$
Però non viene data alcuna spiegazione, come se fosse un dato di fatto. Io ragionandoci ho pensato che questa condizione serve per porre $\epsilon$ in modo tale che i due intorni $abs(f(x)-l)<\epsilon$ e $abs(f(x)-l')<\epsilon$ non si intersechino. Ma sapete dirmi perché non si possono intersecare?
Emanuele09
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 46
Iscritto il: 24/10/2019, 15:13

Re: Dimostrazione teorema di unicità del limite

Messaggioda axpgn » 16/01/2020, 17:58

Perché li scegli apposta così, per poter dimostrare la tesi.
Nota che puoi scegliere $epsilon$ come vuoi quindi lo scegli in maniera che ti sia utile :D
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 14761 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Dimostrazione teorema di unicità del limite

Messaggioda Emanuele09 » 16/01/2020, 18:02

Ma così non sarebbe una forzatura per far riuscire per forza la dimostrazione? Dal punto di vista matematico non sembra che abbia molto senso
Emanuele09
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 7 di 46
Iscritto il: 24/10/2019, 15:13

Re: Dimostrazione teorema di unicità del limite

Messaggioda 3m0o » 16/01/2020, 19:22

Forzi sì \( \epsilon \) ma dal punto di vista matematico invece ha molto senso. Nella definizione di limite c'è un quantificatore ben preciso davanti alla \( \epsilon\) ovvero il \( \forall\).
Infatti \( \forall \epsilon >0\) questo significa che per tutti gli \( \epsilon >0 \) (ma proprio per tutti quelli che vuoi, a condizione che siano positivi) esiste un \( \delta >0\) tale che per tutte le \( x \) tale che \(0 < \left| x- x_0 \right| \leq \delta \) allora risulta \( \left| f(x)- \ell \right| \leq \epsilon \).

Pertanto siccome tu stai supponendo per assurdo che ci sono due limiti distinti \( \ell \) ed \( \ell' \), nota che sono due numeri fissi e non variano. Supponendo \( \ell < \ell' \) (lo puoi supporre in quanto sono diversi) hai che \( \frac{\ell' - \ell}{2} \in \mathbb{R}_+^* \) ed è un numero fisso e positivo quindi \( 0 < \frac{\ell' - \ell}{2} \) e nell'intervallo aperto \( (0, \frac{\ell' - \ell}{2}) \) puoi trovare infiniti numeri positivi. Siccome nella definizione di limite c'è il quantificatore "per ogni" \( \epsilon >0 \) allora la definizione deve valere anche per \( \epsilon \in (0, \frac{\ell' - \ell}{2}) \).
Quindi scegli un \( \epsilon \) in quell intervallo e ti soddisfa automaticamente questa relazione:
\[ 0< \epsilon < \frac{\ell' - \ell}{2} \]

ora seguendo l'argomento del libro arrivi alla conclusione che \( \epsilon > \frac{\ell' - \ell}{2} \) che è una contraddizione.
3m0o
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 815 di 5323
Iscritto il: 02/01/2018, 15:00


Torna a Secondaria II grado

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google Adsense [Bot] e 1 ospite