La sezione di un ellissoide e' sempre un ellisse.
Nota: non ci sono ellissi regolari e non. Ci sono ellissi... e basta.
Per convincersi di questa cosa si inizia con l'osservare l'equazione dell'ellissoide
$a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 = R^2$
e si nota che gli assi $x$, $y$ e $z$ sono "stirati" di un certo fattore.
In pratica l'ellissoide e' una sfera $x^2 +y^2+z^2 = R^2$ stirata sui tre assi.
E poi si osserva che un piano generico
$dx+ey+fz+g = 0$
rimane un piano dopo l'operazione di stiramento degli assi.
Infatti
$dax+eby+fcz+g = 0$
e' ancora un piano.
Allora partiamo da una sfera e la intersechiamo con un piano qualsiasi, ottenendo un cerchio nello spazio.
Prendiamo il piano in cui il cerchio e' contenuto e consideriamo un sistema di assi $x', y'$ su di esso con origine nel centro del cerchio.
Gli assi cartesiani $x, y, z$ a questo punto non necessariamente coincidono con $x', y'$, e quindi consideriamo le proiezioni di $x, y, z$ sul piano $x', y'$.
Le proiezioni sono 3 vettori generici.
Se stiriamo gli assi $x, y, z$, induciamo uno stiramento anche sulle loro proiezioni e quindi sugli assi $x', y'$.
Ora, se prendiamo l'equazione di una generica ellisse centrata nell'origine $ax^2 + bxy +cz^2$ e applichiamo uno stiramento secondo un certo vettore (che sara' quello della proiezione), otteniamo ancora un ellisse.
Ovvero se in $ax^2 + bxy +cz^2$ applichiamo $x = u\barx + v\bary$ e $y = r\barx + s\bary$, e' facile vedere che ottieniamo ancora un ellisse.
Lo stiramento dei 3 assi quindi deforma il cerchio in una ellisse e poi ancora in una ellisse.
Una conferma a quanto detto la si trova anche qui:
http://mathworld.wolfram.com/EllipsoidalSection.html