FrancisRaptor ha scritto: $ \lim_{t\to0^+}\frac{\ln(t)}{2+\ln(\frac{e^t-1}{t}\cdot t)}=\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(t)}{2+\ln(1\cdot t)}$
Dove in questi passaggi ho utilizzato il limite notevole della funzione esponenziale, e posso farlo poiché la quantità che compare all'esponente dell'esponenziale tende effettivamente a 0; [...]
Formalmente questo passaggio è sbagliato!
Prima di tutto non è scontato che
\[ \lim_{t \to 0^+ } \ln\left( \frac{e^t-1}{t} \cdot t \right) = \ln\left( \lim_{t \to 0^+ } \frac{e^t-1}{t} \cdot t \right) \]
In questo caso è vero perché \( \frac{e^t-1}{t} \cdot t \) non si annulla in un intorno bucato di \( 0\).
In secondo luogo non è scontato che
\[ \ln\left( \lim_{t \to 0^+ } \frac{e^t-1}{t} \cdot t \right) = \ln\left( \lim_{t \to 0^+ } \frac{e^t-1}{t} \cdot \lim_{t \to 0^+ } t \right) \]
In questo caso è vero perché sia il limite di \( \frac{e^t-1}{t} \) e di \( t \) esistono.
In terzo luogo quello che stai facendo per portare il limite a denominatore formalmente è
\[ \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(t)}{2+\ln(\frac{e^t-1}{t}\cdot t)} = \lim_{t \to 0^+} \ln(t) \cdot \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2+\ln(\frac{e^t-1}{t}\cdot t)} \]
E questo è sbagliato perché il limite di \( \ln(t) \) non esiste.
Infatti
\[ 1= \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(t)}{2+\ln(\frac{e^t-1}{t}\cdot t)}\neq (-\infty) \cdot 0 = \lim_{t \to 0^+} \ln(t) \cdot \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2+\ln(\frac{e^t-1}{t}\cdot t)} \]
Per di più la scrittura \( (-\infty) \cdot 0 \) non ha senso perché sei al di fuori di un limite!
Per finire calcolare il limite solo di alcune parti e poi continuare con il limite ti può portare a conclusioni errate, vedi:
\[ \lim_{x \to \pi/2^-} \cos(x) \tan(x) = 1 \]
Se invece ragioni dicendo "beh... \( \lim_{x \to \pi/2^-} \cos(x) = 0 \)" e sostituisci il valore nel limite ottieni una cosa sbagliata
\[ \lim_{x \to \pi/2^-}\cos(x) \tan(x)=1 \neq 0= \lim_{x \to \pi/2^-} 0 \cdot \tan(x) \]
E con un limite notevole il controesempio
\[ \lim_{x \to \pi/2^-} \cos\left( \frac{ \pi \sin(x-\pi/2)}{2(x- \pi/2)} \right) \tan\left( \frac{ \pi \sin(x-\pi/2)}{2(x- \pi/2)} \right) = 1 \]
Se fai il limite notevole ottieni
\[\lim_{x \to \pi/2^-} \cos( \frac{ \pi }{2} \cdot 1 ) \tan\left( \frac{ \pi \sin(x-\pi/2)}{2(x- \pi/2)} \right)= 0 \]
Che è quello che hai fatto sostanzialmente in quel passaggio, anche se il risultato che hai ottenuto è corretto.