Dubbi sul principio di induzione

[ZfreS]

Ho questa proposizione da dimostrare per induzione: $P(n)= n^2>2n+1$ con $n>2$.
Scrivo la $P(n+1)=(n+1)^2>2(n+1)+1$. Ora sfrutto l'ipotesi $n^2+2n+1>2n+1 + (2n+1)$. Adesso manipolo l'espressione cercando di ottenere la tesi: $n^2+2n+1>2(n+1)+2n$. Da qui non saprei come procedere per ottenere l'$1$ che compare nella tesi. Potreste aiutarmi per favore?

[axpgn]

$2n+1+(2n+1)>2n+1+2$ per $n>2$

[ZfreS]

Ma il termine $2n+1+2$ come lo hai ricavato?

[3m0o]

Devi dimostrare che $(n+1)^2> 2(n+1)+1$ quindi se apri il prodotto del termine a destra hai $2n+2+1$.

[ZfreS]

Bene, adesso mi è chiaro. Ma se $(n+1)^2>2n+2+1$ e $(n+1)^2>2n+1+(2n+1)$ allora perchè
$2n+1+(2n+1)>2n+1+2$ ?

[axpgn]

$ 2n+1+(2n+1)>2n+1+2\ ->\ (2n+1)>2\ -> \ 2n>1\ ->\ n>1/2$

E questo è vero per ogni $n$ naturale e quindi anche per $n>2$


Ma poi cosa sarebbe quel "se … allora … " ? È una cosa incomprensibile … hai mischiato ipotesi e tesi e passaggi intermedi …

E per fortuna che ti è chiaro …

[ZfreS]

Si, è vero che mi sono confuso mischinado un po tutto. Ma una volta giunti a $n>1/2$, la dimostrazione non è conclusa. Qual'è il passaggio chiave per risolverla?

[axpgn]

Veramente?

Ipotesi passo induttivo: $n^2>2n+1$

Aggiungo $2n+1$ ad entrambi i membri per ottenere $n^2+2n+1>2n+1+2n+1$ ovvero $(n+1)^2>2n+1+2n+1$

Adesso noto che $2n+1+2n+1>2n+1+2$ (la dimostrazione l'ho postata prima)

Ma allora le due disequazioni (vere) precedenti mi dicono che $(n+1)^2>2n+1+2n+1>2n+1+2$ ovvero che l'espressione di sinistra è maggiore di quella di destra cioè $(n+1)^2>2n+1+2$

Ma questa è la tesi! Quindi l'ho dimostrata.

[ZfreS]

Perfetto axpgn, adesso mi è chiara. Grazie tante! Volevo però chiarire un altro dubbio: quando si applica il principio di induzione per verificare una proposizione, si verifica inizialmente per dei casi base. Quindi per esempio data una $P(n)$ dimostro che è vera per $n=0$, $n=1$ poi però per $n=2$ non è più vera mentre per $n=3$ è vera e lo è anche per $n=4$ e $n=5$. Da qui in poi spero che sia sempre vera e quindi dimostro $P(n+1)$. La mia domanda è: chi mi garantisce che, per esempio per $n=273$ $P(n)$ è vera? Infatti, se io non avessi provato a sostituire $1,2,3,4,5$ al posto di $n$, ma avessi ciecamente posto $P(n+1)$, non mi sarei mai accorto che per $n=2$ questa è falsa.

[axpgn]

Per $n=0$ e $n=1$ quella proposizione è falsa.