Matematicamente.it

Comincia a tabulare dei dati:
\begin{matrix}
N & \mapsto & \sum_{i=1}^N i^2 \\
1 & \mapsto & 1 \\
2 & \mapsto & 5 \\
3 & \mapsto & 14 \\
4 & \mapsto & 30 \\
5 & \mapsto & 55 \\
6 & \mapsto & 91 \\
7 & \mapsto & 140 \\
8 & \mapsto & 204 \\
9 & \mapsto & 285 \\
10 & \mapsto & 385 \\
11 & \mapsto & 506 \\
12 & \mapsto & 650 \\
13 & \mapsto & 819 \\
\end{matrix}
ed osserva la seconda colonna: non si vede nessuna regolarità (a parte una crescita non troppo veloce).
A questo punto, cominci a smanettare... Ad esempio, prova a scomporre i numeri della seconda colonna in fattori primi:
\begin{matrix}
N & \mapsto & \sum_{i=1}^N i^2 & \text{in fattori primi}\\
1 & \mapsto & 1 & 1\\
2 & \mapsto & 5 & 5 \\
3 & \mapsto & 14 & 2\cdot 7 \\
4 & \mapsto & 30 & 2\cdot 3 \cdot 5 \\
5 & \mapsto & 55 & 5\cdot 11 \\
6 & \mapsto & 91 & 7\cdot 13 \\
7 & \mapsto & 140 & 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \\
8 & \mapsto & 204 & 2^2 \cdot 3 \cdot 17 \\
9 & \mapsto & 285 & 3\cdot 5\cdot 19 \\
10 & \mapsto & 385 & 5\cdot 7 \cdot 11 \\
11 & \mapsto & 506 & 2\cdot 11 \cdot 23 \\
12 & \mapsto & 650 & 2\cdot 5^2 \cdot 13 \\
13 &\mapsto & 819 & 3^2 \cdot 7 \cdot 13
\end{matrix}
nemmeno qui c'è regolarità... Ma qualcosa che si ripete c'è: infatti, osserva i numeri in rosso:
\begin{matrix}
N & \mapsto & \sum_{i=1}^N i^2 & \text{in fattori primi}\\
1 & \mapsto & 1 & 1\\
2 & \mapsto & 5 & {\color{red} 5} \\
3 & \mapsto & 14 & 2\cdot {\color{red} 7} \\
4 & \mapsto & 30 & 2\cdot 3 \cdot 5 \\
5 & \mapsto & 55 & 5\cdot {\color{red} 11} \\
6 & \mapsto & 91 & 7\cdot {\color{red} 13} \\
7 & \mapsto & 140 & 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \\
8 & \mapsto & 204 & 2^2 \cdot 3 \cdot {\color{red} 17} \\
9 & \mapsto & 285 & 3\cdot 5\cdot {\color{red} 19} \\
10 & \mapsto & 385 & 5\cdot 7 \cdot 11 \\
11 & \mapsto & 506 & 2\cdot 11 \cdot {\color{red} 23} \\
12 & \mapsto & 650 & 2\cdot \underbrace{\color{red} 25}_{=5^2} \cdot 13 \\
13 &\mapsto & 819 & 3^2 \cdot 7 \cdot 13
\end{matrix}
Ah, caspita! Quelli in rosso sono numeri dispari!!!
E mica numeri dispari qualsiasi: infatti $5=2*2+1$, $7=2*3+1$, $11=2*5+1$, etc... Insomma, nella riga di $N$ in cui compare qualche numero dispari rosso, il numero dispari rosso che compare è del tipo $2*N+1$.

Ma com'è possibile che questa regolarità non sia così tanto regolare? Insomma, perché alcune righe vengono saltate? C'è qualcosa che si può fare per rimediare?
Innanzitutto, dopo ogni coppia di righe consecutive in cui c'è un numero rosso segue una riga in cui non c'è nessun numero rosso... A ben vedere tra i numeri dispari rossi mancano ${\color{red} 3}$ ${\color{red} 9}$, ${\color{red} 15}$, ${\color{red} 21}$, ${\color{red} 27}$, cioè mancano i multipli dispari di $3$!
Ah, ma questa è comunque una regolarità... E allora, cerchiamo di sfruttarla.

Moltiplichiamo tutta la seconda colonna per $3$ e vediamo cosa accade nella terza, mettendo in ultimo i numeri rosso:
\begin{matrix}
N & \mapsto & 3\cdot \sum_{i=1}^N i^2 & \text{in fattori}\\
1 & \mapsto & 3 & 1 \cdot \color{red} 3\\
2 & \mapsto & 15 & 3 \cdot {\color{red} 5} \\
3 & \mapsto & 42 & 2 \cdot 3 \cdot {\color{red} 7} \\
4 & \mapsto & 90 & 2 \cdot 5 \cdot \underbrace{\color{red} 9}_{=3^2} \\
5 & \mapsto & 165 & 3 \cdot 5 \cdot {\color{red} 11} \\
6 & \mapsto & 273 & 3 \cdot 7 \cdot {\color{red} 13} \\
7 & \mapsto & 420 & 2^2 \cdot 7 \cdot \underbrace{\color{red} 15}_{=3\cdot 5} \\
8 & \mapsto & 612 & 2^2 \cdot 3^2 \cdot {\color{red} 17} \\
9 & \mapsto & 855 & 3^2 \cdot 5\cdot {\color{red} 19} \\
10 & \mapsto & 1155 & 5 \cdot 11 \cdot \underbrace{\color{red} 21}_{=3\cdot 7} \\
11 & \mapsto & 1518 & 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot {\color{red} 23} \\
12 & \mapsto & 1950 & 2 \cdot 3\cdot 13 \cdot \underbrace{\color{red} 25}_{=5^2} \\
13 &\mapsto & 2457 & 7 \cdot 13 \cdot \underbrace{\color{red} 27}_{=3^3}
\end{matrix}
Da questa tabella intuiamo che, se proprio c'è una regola, potrebbe essere una roba del tipo:
\[
3\cdot \sum_{i=1}^N i^2 = \text{robaccia} \cdot (2N+1)\; ,
\]
e però ancora ci manca da determinare cosa può essere la $"robaccia"$.

Torniamo ad osservare attentamente la tabella con i numeri in rosso, per determinare la presenza di altre regolarità: abbiamo:
\begin{matrix}
N & \mapsto & 3\cdot \sum_{i=1}^N i^2 & \text{in fattori}\\
1 & \mapsto & 3 & 1 \cdot \color{red} 3\\
2 & \mapsto & 15 & 3 \cdot {\color{red} 5} \\
3 & \mapsto & 42 & 2 \cdot 3 \cdot {\color{red} 7} \\
4 & \mapsto & 90 & 2 \cdot 5 \cdot {\color{red} 9} \\
5 & \mapsto & 165 & 3 \cdot 5 \cdot {\color{red} 11} \\
6 & \mapsto & 273 & 3 \cdot 7 \cdot {\color{red} 13} \\
7 & \mapsto & 420 & 2^2 \cdot 7 \cdot {\color{red} 15} \\
8 & \mapsto & 612 & 2^2 \cdot 3^2 \cdot {\color{red} 17} \\
9 & \mapsto & 855 & 3^2 \cdot 5\cdot {\color{red} 19} \\
10 & \mapsto & 1155 & 5 \cdot 11 \cdot {\color{red} 21} \\
11 & \mapsto & 1518 & 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot {\color{red} 23} \\
12 & \mapsto & 1950 & 2 \cdot 3\cdot 13 \cdot {\color{red} 25} \\
13 &\mapsto & 2457 & 7 \cdot 13 \cdot {\color{red} 27}
\end{matrix}
e già qualcosa di evidente c'è... Ma se esplicitiamo le potenze e coloriamo di arancione alcuni numeri la si vede meglio:
\begin{matrix}
N & \mapsto & 3\cdot \sum_{i=1}^N i^2 & \text{in fattori}\\
1 & \mapsto & 3 & {\color{orange} 1} \cdot \color{red} 3\\
2 & \mapsto & 15 & 3 \cdot {\color{red} 5} \\
3 & \mapsto & 42 & 2 \cdot {\color{orange} 3} \cdot {\color{red} 7} \\
4 & \mapsto & 90 & 2 \cdot 5 \cdot {\color{red} 9} \\
5 & \mapsto & 165 & 3 \cdot {\color{orange} 5} \cdot {\color{red} 11} \\
6 & \mapsto & 273 & 3 \cdot 7 \cdot {\color{red} 13} \\
7 & \mapsto & 420 & 4 \cdot {\color{orange} 7} \cdot {\color{red} 15} \\
8 & \mapsto & 612 & 4 \cdot 9 \cdot {\color{red} 17} \\
9 & \mapsto & 855 & 5 \cdot {\color{orange} 9} \cdot {\color{red} 19} \\
10 & \mapsto & 1155 & 5 \cdot 11 \cdot {\color{red} 21} \\
11 & \mapsto & 1518 & 2 \cdot 3 \cdot {\color{orange} 11} \cdot {\color{red} 23} \\
12 & \mapsto & 1950 & 2 \cdot 3\cdot 13 \cdot {\color{red} 25} \\
13 &\mapsto & 2457 & 7 \cdot {\color{orange} 13} \cdot {\color{red} 27}
\end{matrix}
Ah, caspita! Quelli in arancione sono numeri della prima colonna!!!
Insomma, nella riga di $N$ in cui compare qualche numero arancione, il numero arancione coincide con $N$.

Ma com'è possibile che questa regolarità non sia così tanto regolare? Insomma, perché alcune righe vengono saltate? C'è qualcosa che si può fare per rimediare?
A guardar bene, le righe coi numeri arancioni si alternano a righe senza numeri di tale colore. E però, nelle righe che non contengono numeri arancioni, sono presenti numeri che, moltiplicati per $2$, forniscono quelli nella prima colonna.
Allora, come fatto sopra, moltiplichiamo per $2$ la seconda e la terza colonna, ordiniamo i fattori nella terza ed otteniamo questa nuova tabella:
\begin{matrix}
N & \mapsto & 6\cdot \sum_{i=1}^N i^2 & \text{in fattori}\\
1 & \mapsto & 3 & {\color{orange} 1} \cdot 2\cdot \color{red} 3\\
2 & \mapsto & 15 & {\color{orange} 2}\cdot 3 \cdot {\color{red} 5} \\
3 & \mapsto & 42 & {\color{orange} 3} \cdot 4 \cdot {\color{red} 7} \\
4 & \mapsto & 90 & {\color{orange} 4} \cdot 5 \cdot {\color{red} 9} \\
5 & \mapsto & 165 & {\color{orange} 5} \cdot 6 \cdot {\color{red} 11} \\
6 & \mapsto & 273 & {\color{orange} 6} \cdot 7 \cdot {\color{red} 13} \\
7 & \mapsto & 420 & {\color{orange} 7} \cdot 8 \cdot {\color{red} 15} \\
8 & \mapsto & 612 & {\color{orange} 8} \cdot 9 \cdot {\color{red} 17} \\
9 & \mapsto & 855 & {\color{orange} 9} \cdot 10 \cdot {\color{red} 19} \\
10 & \mapsto & 1155 & {\color{orange} 10} \cdot 11 \cdot {\color{red} 21} \\
11 & \mapsto & 1518 & {\color{orange} 11} \cdot 12 \cdot {\color{red} 23} \\
12 & \mapsto & 1950 & {\color{orange} 12} \cdot 13 \cdot {\color{red} 25} \\
13 &\mapsto & 2457 & {\color{orange} 13} \cdot 14 \cdot {\color{red} 27}
\end{matrix}
Da questa tabella intuiamo che, se proprio c'è una regola, potrebbe essere una roba del tipo:
\[
6\cdot \sum_{i=1}^N i^2 = N \cdot \text{robaccia} \cdot (2N+1)\; ,
\]
e però, cavolo!, è facile intuire che la $"robaccia"$ è $N+1$: infatti, i secondi fattori (quelli non evidenziati da nessun colore particolare) sono i successivi dei numeri arancioni.
Dunque, se proprio una regola c'è, essa deve essere del tipo:
\[
6\cdot \sum_{i=1}^N i^2 = N \cdot (N+1) \cdot (2N+1)\; ,
\]
da cui la congettura:
\[
\sum_{i=1}^N i^2 = \frac{N \cdot (N+1) \cdot (2N+1)}{6}
\]
valida per ogni $N in NN$.

Poi, che questa congettura, la quale ben si adatta ai primi tredici casi, valga del tutto in generale si dimostra usando, ad esempio, il PIM.