Problema di combinatoria

Sia E l'insieme dei primi 30 numeri naturali positivi. Quanti sono i sottinsiemi di 4 elementi, 2 dei quali divisibili o per 3 o per 7, e gli altri due non divisibili né per 3 né per 7?

Io ho risolto così: ci sono $ 13 $ numeri divisibili per $ 3 $ o per $ 7 $ , da cui $ 17 $ che non sono divisibili né per l'uno né per l'altro. Da questo viene che le possibili combinazioni di questi quattro elementi (cioè i sottinsiemi cercati) sono pari al numero delle disposizioni diviso per le possibili permutazioni. Essi sono pari a: $ (17*16*13*12)/24=1768 $ , ma il risultato è 10608. Cosa c'è di sbagliato nel mio approccio? Grazie in anticipo

Non ho capito bene cosa hai fatto ma in ogni sottoinsieme ce ne sono due del primo gruppo e due del secondo quindi avrai $((13),(2))$ coppie dal primo da moltiplicare per le $((17),(2))$ coppie del secondo.

Grazie mille per la risposta, in effetti è la via più semplice e veloce.

Il mio ragionamento era questo: dovendo formare un sottinsieme di quattro elementi, prendendone due da una collezione di 17 e gli altri due da una di 13, mi propongo prima di trovare le disposizioni di quattro elementi scelte in questo modo (dunque le sequenze ordinate di quattro elementi), trovando che esse sono $ 17*16*13*12 $ ( $ 17 $ scelte per il primo numero che non è né divisore di $ 3 $ né di $ 7 $, $ 16 $ per il secondo; $ 13 $ scelte per un divisore di $3 $ o $ 7 $ , $ 12 $ per il secondo). Successivamente, dato che un sottinsieme è determinato da una sequenza NON ordinata di elementi, bisogna dividere ogni sequenza per le proprie permutazioni, pari a $ 4! =24 $ Da qui veniva l'operazione che ho scritto. Cosa è errato in questo ragionamento?

Premesso che qui l'ordine non è richiesto quindi usare quella strada ti complica la vita, quando tu crei la tue disposizioni non le stai generando tutte ma fissi sia le prime due posizioni che le ultime due quindi puoi permutare solo tra le prime due e solo tra le ultime due.