Integrale2

Messaggioda Bazzaz » 15/03/2020, 22:43

Chiedo aiuto con un altro integrale

$ int (e^x*tg(e^x))/cos^2(e^x)dx $

I passaggi che ho fatto
$ int (e^x(sen(e^x))/(cos(e^x)))/cos^2(e^x) dx = int e^xsen(e^x)cos(e^x) dx $

ammesso di aver fatto giusto qui mi blocco.....

Il risultato dovrebbe essere

$ 1/2 tg^2(e^x) $
Bazzaz
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Re: Integrale2

Messaggioda 3m0o » 16/03/2020, 01:52

Non hai bisogno di nessun passaggio, si vede ad occhio.
Ti basta sapere qualche derivata nota e qualche regola di derivazione. Tant'è che \( \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \) e inoltre sapere che \( \frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \).
Inoltre ricordati che \( f^2(g(x)) \) non è niente di diverso da una composizione di funzioni quindi \( \frac{d}{dx} f^2(g(x)) = 2 f(g(x)) [ \frac{d}{dx} f(g(x))] = 2 f(g(x)) g'(x) f'(g(x)) \)
E pertanto si vede subito che
\[ \int e^x \tan(e^x) \frac{1}{\cos^2(e^x)} dx = \frac{1}{2} \tan^2 (e^x) \]
basta porre \( f = \tan \) e \( g = \exp \).

NB:
Attento che \[ \frac{e^x \frac{\sin(e^x)}{\cos(e^x)} }{\cos^2(e^x)} = \frac{e^x \sin(e^x)}{\cos^3(e^x)} \]
e non come hai scritto te
\[ e^x \sin(e^x) \cos(e^x) \]
Detto ciò se non ti esce immediato vedere quel integrale potresti anche effettuare una sostituzione \( y = e^x \) e inoltre \( dy = e^xdx \) e forse è leggermente più facile vedere questo integrale.
\[ \int \frac{\tan(y)}{\cos^2(y)}dy = \frac{1}{2} \tan^2 (y) \]
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Re: Integrale2

Messaggioda Bazzaz » 16/03/2020, 14:09

Madò che tonto! Grazie mille ne ho fatti un po così ma è il primo integrale con la tangente che incontro e non avevo a mente la derivata (per l'errore sulla frazione è un mio punto debole mi sbaglio quasi sempre non so perchè non mi entra in testa xD)
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Re: Integrale2

Messaggioda 3m0o » 16/03/2020, 16:45

Se hai frazioni a numeratore un per non sbagliare ti consiglio di scrivere le cose come moltiplicazione così come sono
\[ \frac{A}{B} = A \cdot \frac{1}{B} \]
Pertanto
\[ \frac{e^x \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\cos^2(x)} = e^x \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} \]
e così non sbagli.

Edit: mentre se la frazione sta a denominatore scrivi la moltiblicazione per l'inverso, ad esempio
\[ \frac{e^x \cos^2(x)}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = e^x \cdot \cos^2(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \]
e di nuovo è meno facile sbagliare.
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Re: Integrale2

Messaggioda 3m0o » 16/03/2020, 17:30

3m0o ha scritto:Detto ciò se non ti esce immediato vedere quel integrale potresti anche effettuare una sostituzione \( y = e^x \) e inoltre \( dy = e^xdx \) e forse è leggermente più facile vedere questo integrale.
\[ \int \frac{\tan(y)}{\cos^2(y)}dy = \frac{1}{2} \tan^2 (y) \]

Se invece non riesci nemmeno ad occhio a vedere questo integrale puoi sempre utilizzare le regole di Bioche, per capire quale sostituzione fare. Poni \( \omega(y) = \frac{\sin(y)}{\cos^3(y)}dy \) e osservi quale simmetria possiede. Siccome \( \omega(y)=\omega(-y) \) una sostituzione giudiziosa è \( u = \cos(y) \) e ottieni \( du = -\sin(y) dy \) pertanto ti ritrovi a risolvere
\[ - \int \frac{1}{u^3}du = \frac{1}{2 u^2} + K_0 \]
ed effettuando di nuovo i cambi di variabile al contrario ottieni
\[ \frac{1}{2 u^2} + K_0 = \frac{1}{2 \cos^2(y)} + K_1= \frac{1}{2 \cos^2(e^x)} + K_2 \]
Dove \(K_0,K_1,K_2 \) sono delle costanti.
Magari prova a capire perché anche quest'ultima è una primitiva di quell'integrale. Ovvero significa che le due primitive coincidono a meno di una costante.
\[ \frac{1}{2 \cos^2(e^x)} + K_2 = \frac{\tan^2(e^x)}{2} \]

Edit: Curiosità storica, Charles Bioche è stato un matematico francese professore alla Normale di Parigi, e una volta resosi conto che molti studenti avevano problemi a capire quale sostituzione effettuare in un integrale che presenta seni e coseni o riconducibili ad esse, sviluppò un criterio. Il criterio di Bioche o test d'invarianza di Bioche appunto, insegnato soprattutto in Francia o nei paesi di lingua francese.
\[ \int f(x)dx \]
dove \(f \) è un espressione razionale che possiede solo seni e coseni. Allora effettuare i seguenti test suggeriscono quale sostituzione effettuare. Ponendo \( \omega(x) = f(x)dx \)
1 ) Se
\[ \omega(-x) = \omega(x) \]
allora effettuare la sostituzione \( y = \cos(x) \)
2 ) Se
\[ \omega(\pi-x) = \omega(x) \]
allora effettuare la sostituzione \( y = \sin(x) \)
3 ) Se
\[ \omega(\pi+x) = \omega(x) \]
allora effettuare la sostituzione \( y = \tan(x) \)
4) Se tutti gli altri casi falliscono utilizzare \( y = \tan(x/2) \).

NB:
Per il caso 1) \( d(-x)=-dx \)
Per il caso 2) \( d(\pi-x)=-dx \)
Per il caso 3) \( d(\pi+x)=dx \)

Quindi nel tuo esempio hai
\[ \omega(-y)=\frac{\sin(-y)}{\cos^3(-y)}d(-y)= \frac{-\sin(y)}{\cos^3(y)}d(-y) = - \frac{-\sin(y)}{\cos^3(y)}dy= \frac{\sin(y)}{\cos^3(y)}dy =\omega(y) \]

Consiglio mnemonico:
1) \( \omega(-x) = \omega(x) \) ha la stessa simmetria della sostituzione \( \cos(-x)=\cos(x) \)
2) \( \omega(\pi-x) = \omega(x) \) ha la stessa simmetria della sostituzione \( \sin(\pi-x)=\sin(x) \)
3) \( \omega(\pi+x) = \omega(x) \) ha la stessa simmetria della sostituzione \( \tan(\pi+x)=\tan(x) \)

Lo stesso criterio è comodo anche per risolvere equazioni trigonometriche e ricondursi a equazioni polinomiali. Ad esempio la seguente equazione sul dominio di definizione ovvero, \( \mathbb{R} - \{ \pi/2 + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \), è invariante per sostituzione di \( x \) con \( \pi + x \)
\[\tan(x)-3\sin^2(x)-\cos^2(x)=0 \]
Poniamo dunque \( y = \tan(x) \) e dobbiamo semplicemente risolvere un equazione polinomiale fratta
\[ y + \frac{3 y^2}{1+y^2} - \frac{1}{1+y^2} = 0 \]
e dopo qualche passaggio algebrico ci riconduciamo a risolvere
\[ y^3+3y^2+y-1=0 \]
e con ruffini scomponiamo
\[ (y+1)(y+1-\sqrt{2})(y+1+\sqrt{y}) = 0 \]
Ottenendo dunque l'insieme di soluzione per \(x \), \( S = \{ - \pi/4 + k \pi, \arctan(-1+\sqrt{2})+ k \pi,\arctan(-1-\sqrt{2})+ k \pi ; k \in \mathbb{Z}\} \)
3m0o
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Re: Integrale2

Messaggioda Bazzaz » 17/03/2020, 13:48

Wow grazie di essere andato così a fondo, purtroppo anche se ben spiegato va un po oltre le mie conoscenze per comprendere a pieno(sono al terzo anno di Itis e sto studiando queste cose per conto mio e sto approfondendo più la pratica che la teoria (infatti quando ho esercizi dove un po di teoria farebbe comodo ho unpo di difficoltà)(per esempio le regole Bioniche non le ho mai sentite (sul mio libro neanche sono scritte))
Bazzaz
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