Problema su studio di funzione

Buongiorno! Ho questo problema: data la curva di equazione: $y=-1/3x^3+2ax^2+3x-2a$ verifica che ha un solo punto di flesso per ogni $a in R$ e trova l’equazione del luogo $gamma$ da esso descritto al variare di $a$.

Per il primo punto ho calcolato la derivata seconda e l'ho uguagliata a zero, csì ho trovato l'unico punto di flesso.
Ho difficoltà invece a capire come ricavare il luoggo geometrico. In genere, si avevano delle proprietà e bisognava scrivere l'equazione che soddisfava quelle proprietà. Ma in questo caso io ho una funzione parametrica, quindi deve esserci un altro procedimento. Cosa potreste suggerirmi?

Trova l'ordinata del flesso.
Dovresti ottenere $\{(x_F=2a),(y_F = 16/3a^3+4a):}$ da cui trovi $y_F=f(x_F)$

Si, ho anche calcolato l'ordinata del flesso, ma certamnete non mi aggiunge informazioni per avere un luogo geometrico.

Ma allora sei proprio un bruscolino (come dico ai miei studenti, quando risolvono un problema e non vedono che hanno in mano la soluzione).
$ \{(x_F=2a),(y_F = 16/3a^3+4a):} $ è il luogo geometrico scritto in forma parametrica. Ricavo $a$ dalla prima equazione e lo sostituisco nella seconda $a=x/2$ allora $y=16/3*(x/2)^3+4*x/2$ da cui $y=2/3x^3+2x$ che è il luogo geometrico scritto in forma non parametrica.

Hai ragione, sono un bruscolino. Grazie tante per l'aiuto!