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Nell'insieme dei triangoli del piano, la relazione AVERE LA STESSA AREA è piu' fine della relazione AVERE LO STESSO PERIMETRO ? O vale il viceversa?


In effetti è facile costruire una serie di triangoli con la stessa base e altezza (quindi stessa area) ma con perimetro diverso. Per cui avere lo stesso perimetro parrebbe piu' restrittivo che avere stessa area. Ma si può dimostrare questa cosa ?

Grazie

Potresti precisare cosa intendi con "più restrittivo"?

La classe (o insieme) dei triangoli aventi lo stesso perimetro è piu' piccola dell'insieme dei triangoli aventi stessa area.

1) non esiste "l'insieme dei triangoli che hanno lo stesso perimetro (o area)"; esiste invece "l'insieme dei triangoli che hanno un dato perimetro (o area)"
2) si tratta di insiemi infiniti, e non ce n'è uno incluso nell'altro: cosa vuol dire allora "più piccolo"?
3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro
4) infine, nel merito: dato un perimetro, i triangoli con quel perimetro possono avere qualsiasi area con un limite superiore; viceversa, data un'area, i triangoli con quell'area possono avere qualsiasi perimetro, con un limite inferiore. La situazione mi pare abbastanza simmetrica...

mgrau ha scritto:1) non esiste "l'insieme dei triangoli che hanno lo stesso perimetro (o area)"; esiste invece "l'insieme dei triangoli che hanno un dato perimetro (o area)"

Giusto.

mgrau ha scritto:2) si tratta di insiemi infiniti, e non ce n'è uno incluso nell'altro: cosa vuol dire allora "più piccolo"?

“Più piccolo” può voler dire tante cose ed, a ben vedere, caratterizzare la “piccolezza” di un dato insieme rispetto ad un dato problema è una delle grandi tematiche della ricerca Matematica dalla metà dello ‘800 fino ad oggi.

Quindi, effettivamente, Filippo12 farebbe meglio a specificare il senso di “piccolo” in questo contesto.

mgrau ha scritto:3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro

Falso.

$NN$ è più piccolo di $RR$ in numerosi sensi, anche in quello della “numerosità”.

mgrau ha scritto:4) infine, nel merito: dato un perimetro, i triangoli con quel perimetro possono avere qualsiasi area con un limite superiore; viceversa, data un'area, i triangoli con quell'area possono avere qualsiasi perimetro, con un limite inferiore. La situazione mi pare abbastanza simmetrica...

Non è detto, almeno non finché non si chiarisce il significato di “piccolo”.

gugo82 ha scritto:

mgrau ha scritto:3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro

Falso.

$NN$ è più piccolo di $RR$ in numerosi sensi, anche in quello della “numerosità”.

Infatti, ho scritto "senz'altro", cioè, bisogna distinguere: a volte sì, a volte no

gugo82 ha scritto:Non è detto, almeno non finché non si chiarisce il significato di “piccolo”.

Che cosa, non è detto?

mgrau ha scritto:

gugo82 ha scritto:

mgrau ha scritto:3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro

Falso.

$NN$ è più piccolo di $RR$ in numerosi sensi, anche in quello della “numerosità”.

Infatti, ho scritto "senz'altro", cioè, bisogna distinguere: a volte sì, a volte no

Ah… Avevo frainteso il senso del grassetto.

mgrau ha scritto:

gugo82 ha scritto:Non è detto, almeno non finché non si chiarisce il significato di “piccolo”.

Che cosa, non è detto?

La simmetria della situazione non basta, in mancanza di una definizione chiara del problema, a concludere alcunché.

gugo82 ha scritto:La simmetria della situazione non basta, in mancanza di una definizione chiara del problema, a concludere alcunché.

Ah certo. Infatti non volevo concludere nulla, al massimo evidenziare l'indeterminatezza della questione

Grazie ho capito.

Hai capito cosa?...

Ti stavamo chiedendo di chiarire il problema: che significa "più piccolo" per te?