Limite irrazionale

Salve a tutti,
sto cercando di risolvere un limite di funzione irrazionale ed è da ore che cerco di risolverlo, senza risultato. Avendo disperatamente bisogno di aiuto chiedo a voi. Il limite è il seguente:
$lim_(x->+infty)(xsqrt(x/(x+1))-x)$
e ho provato di tutto, raccogliere la x, raccogliere la x nella radice, sostituzioni... ma evidentemente non trovo la strada giusta.
Spero nel vostro aiuto, grazie

Raccogli $x$, poi somma e sottrai $1$ al numeratore nel radicando e spezza la frazione. In questo modo ti puoi ricondurre all’uso di un limite notevole.

Prima il raccoglimento a fattor comune$ lim_(x->+infty)x(sqrt(x/(x+1))-1) =$ poi la "razionalizzazione del secondo fattore" moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(x/(x+1))+1$, in questo modo il fattore irrazionale che rimane non è più indeterminato perché $sqrt(x/(x+1))+1 -> 2$

$ lim_(x->+infty)x(sqrt(x/(x+1))-1) *((sqrt(x/(x+1))+1)/(sqrt(x/(x+1))+1))=$

$ =lim_(x->+infty)x *((x/(x+1)-1)/(sqrt(x/(x+1))+1))=$

$ =lim_(x->+infty)x *(x-x-1)/(x+1)*1/(sqrt(x/(x+1))+1)=$

$ =lim_(x->+infty)-x/(x+1)*1/(sqrt(x/(x+1))+1)= -1/2$

Grazie mille! Siete stati molto gentili