Che proprietà è stata applicata?

[Abanob95]

Ciao a tutti! Sto cercando di seguire la soluzione del seguente limite $ Lim x->0, (x-x^(1/3))/(3sqrt(x)-2(x^(1/3))) $,
in particolare mi sfugge completamente questo passaggio relativo ad una parte del calcolo:



Presumo che prima elevi sotto e sopra alla 3°, ma poi perché applica la radice a tutto e moltiplica per la radice cubica di -1 al quadrato??

Grazie mille a chi mi dedicherà il suo tempo.

[@melia]

Stai lavorando nei reali? O nei complessi?
Perché se stai lavorando nei reali quel $(-1)^(2/3)$ è inutile, si sa già che $x>0$ altrimenti la radice quadrata non esisterebbe ed è quindi inutile e furviante tenere conto del segno della $root(3)(x)$.

[Abanob95]

Nei reali...

Ok ignoro allora quel passaggio. Posso invece avere un indizio sulla risoluzione? Devo fattorozzare inversamente ma come si fa essendo le radici di indice diverso

[gugo82]

Mah... Passaggi inutili a go-go.

Tutto quello che dovresti sapere per risolvere l'esercizio è che, quando l'argomento tende a zero, conviene mettere in evidenza la potenza d'esponente più basso¹: seguendo questo consiglio, hai:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^{1/3} (x^{2/3} - 1)}{x^{1/3} (3 x^{1/6} - 2)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2/3} - 1}{3 x^{1/6} - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\; .
\]

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Note

1. Al contrario, quando l'argomento tende ad infinito, conviene mettere in evidenza la potenza con esponente più alto. ↑

[Abanob95]

Ho risolto moltiplicando sopra e sotto per $ x^(2/3) $ , dopo ho riscritto tutte le radici con indice = 6, e una volta semplificato si vede che il limite tende a -1/2.