Problemi geometrici risolvibili algebricamente

[blumare]

Grazie!

[giammaria]

Il titolo mi ha fatto sorgere un'altra domanda: come si può risolvere il problema senza l'algebra? Evitiamo i numeri; la domanda è come costruire con la sola geometria la figura indicata conoscendo i lati dei quadrati, cioè $AB=a; FG=b$. Fissato $a$, che valori può avere $b$?
Sarebbe un quesito da "Scervelliamoci un po'" ma penso che possa anche stare qui perché è facile e nato qui.

Approfitto dell'occasione per dare il mio parere sulla domanda iniziale: hai posto $AF=x$ ed $AF$ può essere sia il cateto maggiore che quello minore, quindi può avere due valori diversi e la limitazione è $0<=x<=14$. Se invece tu avessi posto $"cateto minore"=x$ la limitazione sarebbe stata $0<=x<=7$.

[axpgn]

... la domanda è come costruire con la sola geometria la figura indicata conoscendo i lati dei quadrati, cioè $AB=a; FG=b$ ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per determinare $x=AF$, è possibile risolvere questa equazione $x^2+(a-x)^2=b^2=0$ che diventa $x^2-ax+(a^2-b^2)/2$ e nel nostro caso è $x^2-14x+48=0$

Per risolvere un'equazione di secondo grado così fatta $x^2-qx+p$ in modo geometrico, si può procedere così:

Tracciare un cerchio il cui diametro $MN$ unisca i punti $M(0,1)$ e $N(q,p)$
Le ascisse dell'intersezione tra cerchio e asse delle ascisse sono le soluzioni dell'equazione.

S.E. & O.

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@ axpgn
La tua risposta è giusta ma passa attraverso l'algebra, mentre avevo chiesto di usare solo la geometria. Comunque il problema è facile, al di sotto del tuo livello: meglio lasciarlo ad altri.
Se non risponde nessun altro, domani o dopodomani darò un suggerimento sulla soluzione che ho trovato io; scommetterei che non è l'unico metodo.

[mgrau]

Giusto perchè il problema è facile,....

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Noto che i centri dei due quadrati coincidono. Allora, costruisco il segmento lungo $(FG)/sqrt(2)$ (il lato del quadrato con diagonale $FG$) Col compasso con questa apertura puntato nel centro interseco $AB$ nel punto $F$ e nel suo simmetrico rispetto al punto medio di $AB$

[axpgn]

@giammaria
No, è solo geometrica.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho scritto quella premessa algebrica solo per evidenziare il motivo per cui è possibile fare quella costruzione geometrica.
Ma quello che serve è solamente conoscere $q$ e $p$.
Abbiamo che $q=a$ mentre $p=(a^2-b^2)/2$; devo perciò fare dei conti? No, somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni si possono fare con riga e compasso, non devo certo spiegarlo a te.
Quindi, posso trovare $AF$ senza fare nessun conto e usare nessun numero, solo geometria.
È complicato? Sì, per me sì, non mi è venuto in mente niente di più facile; d'altronde, tu stesso hai detto che sarebbe un quesito da "Scervelliamoci un po' " … esistono soluzioni più semplici? Sicuramente ma io non le conosco …
La stessa risposta di mgrau è algebrica, apparentemente, dato che deve fare un calcolo.
Ma in realtà non è necessario farlo effettivamente.

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@ mgrau
La tua soluzione coincide con la mia, ma faccio due osservazioni.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1) Hai scritto "Noto che i centri dei due quadrati coincidono"; anch'io avevo fatto così, ma andrebbe dimostrato. Sapresti farlo?
2) Come sottolineato da axpgn, la $(FG)/sqrt(2)$ richiede un calcolo e aggiunge che "in realtà non è necessario farlo effettivamente"; tu dici che lo "costruisci". Come?

@axpgn
Dici il vero, ma continuo a pensare che sarebbe stato più elegante evitare ogni riferimento all'algebra, anche se non l'hai effettivamente usata.

[mgrau]

@giammaria

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1) senza farla lunga, basta vedere che un quadrato si ottiene dall'altro per rotazione intorno al centro e dilatazione
2) traccio l'asse di FG, , dal punto medio M traccio un cerchio con apertura FM che interseca l'asse in H e K, $FH = (FG)/sqrt(2)$