Domanda su funzione esponenziale

Messaggioda ironhak » 12/04/2020, 17:12

Salve, innanzitutto buona Pasqua a tutti :-D

Volevo chiedervi se potete darmi dei chiarimenti riguardo questa funzione $ (e^x-x)/(2-x) $

Più precisamente non ho capito perchè quando x tende a $2^- $ la funzione tende a + infinito e viceversa, a me viene -infinito con $2^-$ e viceversa. Se potete spiegarmi meglio come si comportano i segni in questo caso mi fareste un favore.

Inoltre volevo chiedere se la derivata prima e seconda sono corrette, il grafico mi viene giusto però vorrei conferma perchè non sono propriamente sicuro della loro correttezza.

$ f'(x)= (2(e^x-1)+e^x(1-x))/(2-x)^2 $


$ f''(x)= (x^2e^x-2xe^x+2)/(2-x)^3 $

Grazie in anticipo, buon proseguimento
ironhak
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Re: Domanda su funzione esponenziale

Messaggioda 3m0o » 12/04/2020, 17:42

Allora se vuoi formalizzare bene il fatto che \( x \to 2^{-} \) puoi dire che per \( \epsilon >0 \), \( x \to 2 - \epsilon \). Dunque devi studiare il segno di questo numero qui
\[ \frac{e^{2-\epsilon} - (2- \epsilon)}{2 - (2- \epsilon)} \]
Ora un esponenziale è sempre positivo ed è monotona crescente inoltre \( e^{2- \epsilon} \geq 2- \epsilon \) infatti hai che \( e^x > x \) per tutte le \(x \in \mathbb{R} \). Dunque il numeratore è positivo infatti segue subito che \( e^{2- \epsilon} - (2 - \epsilon) > 0 \), in particolare per tutti gli \( \epsilon >0 \). Per quanto riguarda il denominatore
\[ 2 - (2-\epsilon) = 2-2+ \epsilon = \epsilon >0 \]
Dunque hai che
\[ \frac{e^{2-\epsilon} - (2- \epsilon)}{2 - (2- \epsilon)} = \frac{e^{2-\epsilon} - (2- \epsilon)}{\epsilon} >0 \]
Perché \( + \cdot + = + \), in particolare è vero per tutti gli \( \epsilon > 0 \) quindi se il limite esiste (o se va ad un infinito) questo dev'essere positivo.

Viceversa hai che se \( x \to 2^+ \) è come dire che per \( \epsilon >0 \), \( x \to 2 + \epsilon \). Dunque con un ragionamento del tutto analogo hai
\[ \frac{e^{2+\epsilon} - (2+ \epsilon)}{2 - (2+ \epsilon)} = \frac{e^{2+\epsilon} - (2+ \epsilon)}{-\epsilon} < 0 \]
dunque se esiste un limite (o se va ad un infinito) questo dev'essere negativo.

Per la derivata prima sì anche se l'avrei scritta
\[ \frac{e^x (3-x) -2 }{(2-x)^2} \]

Così è più facile calcolare la derivata seconda, e infatti mi esce qualcosa di diverso. Come l'hai calcolata?
A me esce
\[ \frac{e^x ( x^2-6x+10)-4}{(2-x)^3} \]

Edit: Se sei curioso e ti stai chiedendo come mostrare che \( e^x -x >0 \) per tutti gli \( x \in \mathbb{R} \), siccome stai trattando le derivate, c'è un modo molto rapido per dimostrarlo usandole.

Definisci la funzione \( g(x) = e^x -x \) e vuoi studiarne il segno di \( g \). In primo luogo nota che se \( x < 0 \) allora \( e^x >0 \) e \( x < 0 \) quindi è immediato che \( e^x - x > 0 \). Se \( x \geq 0 \) calcoliamo la derivata di \( g \) e otteniamo \( g'(x) = e^x-1 \geq 0 \) quando \( x \geq 0 \). Infatti \( e^x-1=0 \) quando \(x = 0 \) e non ha altre soluzioni perché \( e^x \) è crescente. Dunque siccome la derivata prima \(g' \) è sempre non negativa quando \( x \geq 0 \) hai che \( g \) è crescente quando \( x \geq 0 \). Inoltre \( g(0) = e^0 - 0 = 1 > 0 \) e dunque se \( x > 0 \) hai pure che \( g(x) \geq 1 > 0 \).
In definitiva \( g(x) = e^x -x > 0 \) per tutti gli \( x \in \mathbb{R} \).
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Re: Domanda su funzione esponenziale

Messaggioda ironhak » 14/04/2020, 11:45

Grazie per la spiegazione, molto chiara e mi ha tolto i dubbi riguardo i limiti.

Riguardo la derivata prima, come hai fatto a raggiungere quella scrittura? Io dopo aver fatto i vari passaggi sono arrivato al risultato che ho scritto e non vedevo altri procedimenti possibili da fare.

Se riesci a spiegarmi come sei arrivato al tuo risultato, decisamente più semplice, mi faresti un favore.

Grazie ancora e buon proseguimento :smt023
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Re: Domanda su funzione esponenziale

Messaggioda 3m0o » 14/04/2020, 13:25

Dal punto in cui sei arrivato
\[ \frac{2(e^x-1) + e^x(1-x)}{(2-x)^2} = \frac{2e^x-2 + e^x-xe^x}{(2-x)^2}= \frac{3e^x-xe^{x}-2 }{(2-x)^2} = \frac{e^x (3-x)-2}{(2-x)^2} \]

Io invece l'ho fatto direttamente
\[ \frac{(2-x)(e^x-1) + (e^x-x)}{(2-x)^2}= \frac{2e^x - 2-xe^x+x + e^x-x}{(2-x)^2}= \frac{2e^x + e^x-xe^x - 2}{(2-x)^2}= \ldots \]
E da qui invece di mettere in evidenza il \( 2 \) e il \( e^x \) proseguo come sopra.

Per finire ti è uscita la derivata seconda?
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Re: Domanda su funzione esponenziale

Messaggioda ironhak » 18/04/2020, 16:08

Ciao.. scusa il ritardo ma ho avuto modo di mettermi a riprovare lo studio di questa funzione solo negli ultimi giorni. Purtroppo non riesco a farmi venire corretta la derivata seconda.

L'ultimo tentativo che ho fatto è questo, premetto però che ho scritto così il num. della derivata prima per facilitarmi i conti: $ 3e^x -xe^x -2 $

$ =\frac { {[3e^x-(e^x+xe^x)](2-x)^2} - {[e^x(3-x)-2](-2)(2-x)} } { (2-x)^4 $


$ =\frac {(2-x) {[e^x(2-x)(2-x)]-(-2)(3e^x-xe^x-2)}} {(2-x)^4} $


$ =\frac { 2e^x-xe^x+4e^x-2xe^x-2xe^x+x^2e^x + (2)(3e^x-xe^x-2)} {(2-x)^3} $


$ =\frac { 6e^x-5xe^x+x^2e^x+6e^x-2xe^x-4} {(2-x)^3} $


$ =\frac { 12e^x-7e^x+x^2e^x-4} {(2-x)^3} $


$ =\frac { xe^x(x-7)+4(3e^x-1)} {(2-x)^3} $

Come vedi viene abbastanza diversa, riesci a farmi capire dove sto sbagliando? Grazie buona giornata
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Re: Domanda su funzione esponenziale

Messaggioda 3m0o » 19/04/2020, 11:24

ironhak ha scritto:$ =\frac {(2-x) {[e^x(2-x)(2-x)]-(-2)(3e^x-xe^x-2)}} {(2-x)^4} $


$ =\frac { 2e^x-xe^x+4e^x-2xe^x-2xe^x+x^2e^x + (2)(3e^x-xe^x-2)} {(2-x)^3} $


Questo passaggio è sbagliato, infatti, non so da dove ti saltano fuori dei termini e come se avessi scritto a numeratore
\[ (2-x) \{[e^x(2-x)(2-x)]-(-2)(3e^x-xe^x-2) \} = (2-x)e^x + e^x(2-x)^2 + 2 ( 3e^x - xe^x -2) \]
Non so dove hai recuperato questo \( (2-x)e^x + \ldots \) iniziale.
Che ti ha portato a fare errori, infatti tu hai scritto
\[ e^x (2-x)^2 = 2e^x-xe^x + 4e^x -4xe^x +x^2e^x \]
che è come fare
\[ (2-x)e^x + e^x(2-x)^2 \]
Ma in realtà quel termine iniziale non lo hai proprio
\[ e^x (2-x)^2 = e^x( 4-4x + x^2) \]

Secondo me ti sei confuso con il \( (2-x) \) che hai portato fuori dalla parentesi per semplificarlo con il denominatore, quindi il mio consiglio è: piuttosto fai un passaggio in più e riscrivi tutto ancora compatto senza quel \( (2-x) \) così non ti confondi.

E più avanti ti sei scordato di una \(x \) ma quello penso sia un errore di battitura, perché sommi \( -5e^x -2xe^x = -7xe^x \) e poi scrivi \( -7e^x \)

Riassumendo, attendo agli errori di calcolo, vai piano e piuttosto fai le cose con calma, il passaggio da correggere è il seguente

\[\ldots = \frac{e^x(2-x)^3 + 2(2-x)[e^x(3-x) -2] }{(2-x)^4} = \frac{(2-x)[e^x(2-x)^2 + 2(e^x(3-x) -2) ]}{(2-x)^4} \]
\[= \frac{e^x(2-x)^2 + 2[e^x(3-x) -2) ]}{(2-x)^3} = \frac{e^x[(2-x)^2 + 2(3-x)] -4}{(2-x)^3}= \ldots \]
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