Risoluzione problema con teorema di Lagrange

[popetto]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere un problema che necessità del teorema di Lagrange ma mi sfugge un passaggio per la risoluzione. Il testo è il seguente:

Codice:

Due autovelox sono posti su un'autostrada a una distanza di 25 km. Quando l'auto di Paolo passa dal primo autovelox, quest'ultimo rileva una velocità di 120 km/h; quando, 12 minuti dopo, l'auto passa davanti al secondo autovelox, viene misurata una velocità di 125 km/h. Il limite di velocità è quello ordinario di 130 km/h. È possibile affermare che almeno in un istante l'auto di Paolo ha superato il limite di velocità? Giustifica adeguatamente la risposta.

Il primo passo è stato quello di calcolare la velocità media. Quindi:
\( \displaystyle v_m=\frac{25~km/h}{\frac{1}{5}h}=125~km/h \)
Quindi, so che sicuramente, per il teorema di Lagrange, Paolo ha raggiunto la velocità di 125 km/h. Ma senza la funzione, come posso affermare che ciò è avvenuto?
So che il problema richiede se è possibile affermarlo, ma poiché mi sembra di non aver utilizzato tutti i dati ritengo che forse sto sbagliando io.
Grazie per il vostro aiuto

[mgrau]

Mi pare ovvio che no. E basta un controesempio: se Paolo, una attimo dopo essere passato dal primo autovelox, ha raggiunto la velocità di 125 km/h, e la mantiene per 25 km percorre i 25 km in 12 minuti e passa dal secondo a 125 km/h

[axpgn]

$125\text(km/h)$ è la velocità media cioè è come se fosse sempre andato a quella velocità ma siccome è partito da una velocità inferiore, per avere quella media da qualche parte deve avere superato quella velocità media.

[mgrau]

da qualche parte deve avere superato quella velocità media.

Sì, la velocità media, ma non i 130

[axpgn]

E perché?
La risposta che hai dato è concettualmente sbagliata: se partendo da 120 non supera MAI i 125 non potrà mai avere una media di 125 (perché percorrerà in 25 km in un tempo maggiore di 12 minuti, foss'anche di un millesimo di secondo); questo è l'importante.
Essendo quindi sicuri che ha superato i 125, la conseguenza è che può essere andato a 150 e poi calato a 100 e così via … sono esperto di TUTOR

[mgrau]

se partendo da 120 non supera MAI i 125 non potrà mai avere una media di 125

Non ho detto che non supera mai i 125. Certo che li deve superare. Quel che dico è che non si può provare che abbia superato i 130.
Esempio. Può accelerare da 120 a 129 in 1ms, mantenere i 129 per 11 minuti, 59 secondi e 998ms, e nell'ultimo millisecondo decelera fino a 125. La velocità media suppongo sia piuttosto vicina a 129, ma non ha superato i 130.