Determinare interi, noti prodotto e somma

Messaggioda Dragonlord » 17/05/2020, 16:44

Raga, son sicuro che sono facilissimi ma, senza passare per le equazioni, come si risolvono esercizi di questo tipo:

Trova due numeri interi che hanno prodotto —12 e somma —4.
Determina due numeri interi che hanno prodotto +36 e somma —20.

Ne ho messi 2 ma basta che mi aiutate sul primo, poi sono tutti uguali. Ripeto, è il capitolo relativo agli interi, quindi niente equazioni.

Ho l'impressione che bisogna ragionare su multipli, divisori, MCD, mcm ma non capisco come impostare il ragionamento.
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Re: Determinare interi, noti prodotto e somma

Messaggioda axpgn » 17/05/2020, 16:55

È semplice, scomponi in due fattori il prodotto e tieni la coppia che ti dà la somma.

Esempio: $-12=-1*12=-2*6=-3*4=-4*3=-6*2=-12*1$

L'unica coppia che ti dà $-4$ è $-6*2$
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Re: Determinare interi, noti prodotto e somma

Messaggioda Dragonlord » 17/05/2020, 17:05

Con \(\displaystyle 36 \) però è più complicato, dovrei scrivere:

In fattori primi: \(\displaystyle 36 = 2^2 \cdot 3^2 \). Quindi \(\displaystyle +36 = +4 \cdot +9 = -4 \cdot -9 = +2 \cdot +18 = -2 \cdot -18 = +12 \cdot +3 = -12 \cdot -3 = +6 \cdot +6 = -6 \cdot -6 \)

Se la somma deve fare \(\displaystyle - 20 \), allora l'unica possibilità è che i due numeri sono \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle -18 \).

Con numeri grandi, diventa piuttosto impegnativo però
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Re: Determinare interi, noti prodotto e somma

Messaggioda axpgn » 17/05/2020, 17:13

A dir la verità con $36$ è più facile :D … e a meno che non siano numeri molto grandi, non ci metti più di mezzo minuto … :wink:
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Re: Determinare interi, noti prodotto e somma

Messaggioda Dragonlord » 17/05/2020, 17:28

Ok, grazie, vediamo se qualcuno vuole aggiungere qualcosa.

Ne stavo vedendo ancora qualcuno e... caspita! Questi esercizi sono tutt'altro che banali:

Se il prodotto di due numeri a e b è —24, calcola quanto vale il prodotto:

a. del triplo di a per l’opposto di b;
b. dell’opposto di a con il doppio dell’opposto di b.

Questo l'ho risolto così: \(\displaystyle a \cdot b = -24 \), il triplo di a, cioè moltiplico entrambi i membri per 3: \(\displaystyle 3 \cdot a \cdot b = -24 \cdot 3 \), l'opposto di -b, cioè moltiplico entrambi membri per -1: \(\displaystyle 3 \cdot a \cdot b \cdot -1 = -24 \cdot 3 \cdot -1 \), allora ottengo \(\displaystyle (3a) \cdot (-b) = +72 \).

Ora, però, non so se in prima superiore (max seconda superiore) bisognerebbe ragionare così. Riuscite a vedere un metodo più semplice di quello a cui ho pensato?
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Re: Determinare interi, noti prodotto e somma

Messaggioda gugo82 » 17/05/2020, 17:51

Beh, sì, dai... Per gli ultimi esercizi bastano i rudimenti di calcolo letterale che già si insegnano alle medie.

Un suggerimento su somma e prodotto: quando trovi i divisori di un numero, incolonna i divisori in maniera opportuna e non dimenticare i segni.
Ad esempio, invece di scrivere i divisori di $36$ così:

$+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-9, +-12, +-18, +-36$

(cioè in maniera sequenziale) scrivili incolonnati a coppie:

$\{(+-1, +-2, +-3, +-4, +-6), (+-36, +-18, +-12, +-9, +-6):}$

così sai già che quelli nella stessa colonna ti danno come prodotto proprio $36$ (a meno del segno, ovviamente).
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Re: Determinare interi, noti prodotto e somma

Messaggioda giammaria » 18/05/2020, 08:37

gugo82 ha scritto: quando trovi i divisori di un numero, incolonna i divisori in maniera opportuna e non dimenticare i segni.

Oppure (e mi sembra un po' più rapido) comincia pensando al solo valore assoluto: ad esempio se il prodotto è 12 o -12, pensa che $12=1*12=2*6=3*4$. Poi:
- se il prodotto ha il +, i due fattori hanno lo stesso segno, che è quello della somma; sommando i due numeri trovi il valore assoluto della somma;
- se il prodotto ha il -, i due fattori hanno segno diverso ed il più grande ha il segno della somma; con una sottrazione trovi il valore assoluto della somma.

Con prodotto 36, pensi che $36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6$
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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