Come già accennato, sono un biologo aspirante insegnante di matematica&scienze. Ho trovato questo esercizio in un libro della scuola secondaria di II grado.
"Considera il sottoinsieme \(\displaystyle \Omega \) di tutti i numeri reali del tipo \(\displaystyle a + b\sqrt{c} \) con \(\displaystyle a,b \) variabili nell'insieme dei numeri razionali e \(\displaystyle c \) costante razionale positiva. Dimostra che ogni elemento diverso da zero di \(\displaystyle \Omega \) ammette un inverso che a sua volta appartiene a \(\displaystyle \Omega \) e che la somma e il prodotto di due elementi di \(\displaystyle \Omega \) sono anch'essi elementi di \(\displaystyle \Omega \)".
Partendo dalle cose che conosco:
- Io so che, per definizione, perché un numero ammetta un inverso (rispetto alla moltiplicazione) deve esistere un altro numero tale che il prodotto di questi due dia 1.
Questo numero, nel mio caso, è dato da \(\displaystyle \frac{1}{a + b\sqrt{c} }\). Per dimostrare la sua esistenza mi basta esplicitare le sue condizioni di esistenza?
- Io voglio dimostrare che questo numero appartenga all'insieme \(\displaystyle \Omega \). Per fare ciò, devo cercare di ricondurre \(\displaystyle \frac{1}{a + b\sqrt{c} }\) ad una forma "simile" ad \(\displaystyle a + b\sqrt{c} \)? Ho le stesse perplessità su come procedere anche per quanto riguarda la somma ed il prodotto di due numeri appartenenti ad \(\displaystyle \Omega \).
Vi ringrazio molto per la pazienza. Mi scuso per le eventuali inesattezze e per l'aver scritto forse troppo, ma non penso sia interessante per nessuno la "sterile" richiesta dell'esercizio ed ho voluto cimentarmi con le mie conoscenze attuali.
Un saluto a tutti
