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Ciao a tutti!

Mi sto esercitando con varie dimostrazioni di geometria di base e mi piacerebbe proporvi un dubbio riguardo una di queste.
La seguente traccia è presa da un gruppo di esercizi le cui dimostrazioni fanno fatte utilizzando il primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli.

"Del triangolo abc prolunga il lato AB di un segmento BD congruentea BC, analogamente prolunga il lato CB di un segmento BE congruente a AB. Traccia la bisettrice dell'angolo ABC e sia F la sua intersezione con AC. Traccia la bisettrice dell'angolo DBE e chiama G la sua intersezione con DE. Dimostra che BF è congruennte a BG".

La costruzione:


Ipotesi:

$BDcongBC$ , $BEcongAB$

Tesi:

$BFcongBG$

Dal momento che $BDcongBC$ , $BEcongAB$ , e che $AhatBCcongEhatBD$ in quanto opposti al vertice, allora i triangoli $ABC$ e $EBD$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza e dunque $BF≅BG$.

Mi chiedo se questo basti a concludere e dimostrare la tesi o se vi siano altre deduzioni da fare.

Per esempio, una volta stabilita la congruenza di quei due triangoli, potrei notare che:

$AFcongEG$,

$ABcongBE$,

$FhatABcongBhatEG$ dunque i triangoli $FAB$ e $BEG$ sono congruenti per primo criterio.

Analogamente:

$FCcongGD$,

$CBcongBD$,

$FhatCBcongBhatDG$ dunque i triangoli $FCB$ e $BDG$ sono congruenti per primo criterio.

Di conseguenza $ BFcongBG $.

È corretto?

Dalla congruenza dei triangoli $ABC$ e $BED$ non puoi dedurre la congruenza dei segmenti $AF$ e $EG$ (oppure $FC$ e $GD$) perchè quella retta che definisce i punti $F$ e $G$ non è la mediana la la bisettrice quindi l'unica deduzione che ti è concessa è che gli angoli $CBF$, $FBA$, $GBE$ e $DBG$ sono tutti congruenti (che in realtà è un fatto indipendente dalla congruenza dei due triangoli).
Adesso prova a considerare i triangoli $FAB$ e $BEG$ e, visto che gli esercizi prevedono l'appicazione dei primi due criteri, ora prova con il secondo...

Ciao Perlu11, grazie per la risposta.

Una cosa non mi quadra:

Se i triangoli $ABC$ e $BDE$ sono congruenti, immaginando di sovrapporli, le bisettrici con origine nel vertice $B$ non dovrebbero necessariamente sovrapporsi , rendendo $BFcongBG$?

Stillife ha scritto:Se i triangoli $ABC$ e $BDE$ sono congruenti, immaginando di sovrapporli, le bisettrici con origine nel vertice $B$ non dovrebbero necessariamente sovrapporsi , rendendo $BFcongBG$?

Certo, è così, ma forse questo passaggio viene visto come una scorciatoia non accettabile, e si vuole che sia sviluppato più in dettaglio

Grazie mgrau del chiarimento.

In effetti talvolta di fronte una costruzione del genere certe richieste di dimostrazioni appaiono direttamente visibili, ma suppongo che l'ovvietà non faccia parte delle regole del gioco ipotetico-deduttivo.

Detto questo, su consiglio di Pierlu11 concluderei la dimostrazione così:

Dal momento che $FhatBAcongGhatBE$, $FhatABcongBhatEG$, $ABcongBE$, i triangoli $FAB$ e $BEG$ saranno congruenti per il secondo criterio di congruenza e dunque $FBcongFG$.