27/05/2020, 12:03
27/05/2020, 13:24
Bianco17 ha scritto:In primis, ho notato che $$\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon$$ per cui, scelti $\alpha<-N, \beta>N$, $g(x)$ è definita e continua su $[\alpha,\beta]$. Supposto $a\ne0$ (poiché altrimenti avremmo un unico punto estremante, o minimo per $b<0$ o massimo per $b>0$ su tutto \(\mathrm{Dom}\,g\)), allora, per il teorema di Weierstrass, esistono, comunque scelti i parametri e l'intervallo, un unico punto di minimo e un unico punto di massimo per $g(x)$ distinti su $[\alpha,\beta]$.
È giusto come approccio? La cosa che più mi fa dubitare è la conclusione… Aspetto pareri più esperti
27/05/2020, 17:43
27/05/2020, 19:55
Bianco17 ha scritto:Dunque il mio sospetto era fondato… In effetti quel ragionamento su $a\ne0$ mi lasciava un po' perplesso ma non mi era venuto in mente che potesse inficiare il resto della dimostrazione.
Grazie mille, per il momento mi sembra tutto chiaro!
28/05/2020, 00:39
Edit:
In sostanza, la tua dimostrazione non è sbagliata, ma direi che è incompleta, nel senso che devi giustificare meglio il motivo per cui il massimo e il minimo assoluto su \( [\alpha,\beta] \) sono anche massimo e rispettivamente minimo assoluto su \( \mathbb{R} \), dopo di ché va bene.
Edit 2 (editato anch'esso ):
Prova a completare la tua dimostrazione!
... basta una riga ben fatta, nulla di trascendentale, ma che senza non è "chiaro" il motivo per cui la dimostrazione è valida.
28/05/2020, 01:05
Bianco17 ha scritto:In primis, ho notato che \[ \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon \] per cui, scelti $ \alpha<-N, \beta>N $, $ g(x) $ è definita e continua su $ [\alpha,\beta] $.
Inoltre siccome \( a \neq 0 \) e siccome \( g(-b/a)=0 \) abbiamo che possiamo scegliere \( \epsilon >0 \) sufficientemente piccolo (dunque cambiare \([-N,N] \subset [\alpha, \beta ] \) ) tale che risulta \( \epsilon \leq \left| m \right| \) e \( \epsilon \leq M \).
Ora poiché per \( x \in \mathbb{R} \setminus [-N,N] \supset \mathbb{R} \setminus [\alpha,\beta] \), abbiamo che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \) risulta anche \( \left| g(x) \right| \leq \left| m \right| \) e \( \left| g(x) \right| \leq M \).
29/05/2020, 10:05
3m0o ha scritto:Inoltre siccome \( a \neq 0 \) e siccome \( g(-b/a)=0 \) abbiamo che possiamo scegliere \( \epsilon >0 \) sufficientemente piccolo (dunque cambiare \( [-N,N] \subset [\alpha, \beta ] \) ) tale che risulta \( \epsilon \leq \left| m \right| \) e \( \epsilon \leq M \).
Ora poiché per \( x \in \mathbb{R} \setminus [-N,N] \supset \mathbb{R} \setminus [\alpha,\beta] \), abbiamo che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \) risulta anche \( \left| g(x) \right| \leq \left| m \right| \) e \( \left| g(x) \right| \leq M \).
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