Problema n.1 simulazione maturità 2019
Inviato: 27/05/2020, 12:03
La mia prof di matematica e fisica ci ha proposto la simulazione della seconda prova 2019 come esercizio da esporre alla simulazione del colloquio. È una simulazione non troppo difficile ma mi sono chiesto se la prima richiesta sui massimi e i minimi di una funzione potesse essere trattata facendo utilizzo del teorema di Weierstrass, senza ricorrere a calcoli sulla derivata prima. La traccia è:
"Si consideri $g(x)=(ax+b)e^{2x-x^2}$: provare che, comunque siano scelti i valori di $a,b\in\mathbb{R}$ con $a\ne 0$, la funzione ammette un massimo e un minimo assoluti. […]"
In primis, ho notato che $$\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon$$ per cui, scelti $\alpha<-N, \beta>N$, $g(x)$ è definita e continua su $[\alpha,\beta]$. Supposto $a\ne0$ (poiché altrimenti avremmo un unico punto estremante, o minimo per $b<0$ o massimo per $b>0$ su tutto \(\mathrm{Dom}\,g\)), allora, per il teorema di Weierstrass, esistono, comunque scelti i parametri e l'intervallo, un unico punto di minimo e un unico punto di massimo per $g(x)$ distinti su $[\alpha,\beta]$.
È giusto come approccio? La cosa che più mi fa dubitare è la conclusione… Aspetto pareri più esperti
"Si consideri $g(x)=(ax+b)e^{2x-x^2}$: provare che, comunque siano scelti i valori di $a,b\in\mathbb{R}$ con $a\ne 0$, la funzione ammette un massimo e un minimo assoluti. […]"
In primis, ho notato che $$\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon$$ per cui, scelti $\alpha<-N, \beta>N$, $g(x)$ è definita e continua su $[\alpha,\beta]$. Supposto $a\ne0$ (poiché altrimenti avremmo un unico punto estremante, o minimo per $b<0$ o massimo per $b>0$ su tutto \(\mathrm{Dom}\,g\)), allora, per il teorema di Weierstrass, esistono, comunque scelti i parametri e l'intervallo, un unico punto di minimo e un unico punto di massimo per $g(x)$ distinti su $[\alpha,\beta]$.
È giusto come approccio? La cosa che più mi fa dubitare è la conclusione… Aspetto pareri più esperti