Equazioni Logaritmiche con Radice nell'argomento

[Pemberton!]

Buonasera ragazzi,

Mi stavo esercitando un pò e ho riscontrato difficoltà nel risolvere il seguente esercizio.

$log_2(sqrt(x^3-2x^2+x)) = 1 + log_2(x-1)$

Ho trovato le condizioni di esistenza che coincidono con $x>1$

Ma non riesco a trovarmi con il risultato $x=4$

Qualcuno potrebbe aiutarmi ? grazie !

[3m0o]

Ciao, tu cosa hai provato a fare? Dov'è che ti blocchi o come mai dici che non ti trovi con il risultato?

[Pemberton!]

Innanzitutto ho eliminato i logaritmi elevando il tutto al quadrato

$sqrt(x^3-2x^2+x)=2^1 + (x-1)$

Poi per eliminare la radice ho elevato tutto al cubo

$(sqrt(x^3-2x^2+x))^2=2^2 + (x-1)^2$

Trasporto tutto a primo membro e sviluppo il quadrato del binomio e mi trovo con

$x^3-3x^2-x-5=0$

Ed è qui che mi blocco, perchè non riesco a trovare un coefficiente che funzioni per effettuare una scomposizione mediante Ruffini, ne tantomeno un raccoglimento parziale funzionante.
Questi due sopra elencati non sono i metodi corretti per procedere o sbaglio qualcosa prima?

[axpgn]

Innanzitutto ho eliminato i logaritmi elevando il tutto al quadrato …

???

[Pemberton!]

*con passaggio all'esponenziale

[Pemberton!]

Ok ho trovato:

Al posto di procedere eliminando subito i logaritmi, ho passato il logaritmo del secondo membro al primo cambiato di segno, mi sono ricondotto alla fomula per cui la differenza dei logaritmi è il logaritmo del rapporto, poi ho eliminato il logaritmo con passaggio all'esponenziale ecc. ecc. e mi sono trovato. grazie comunque !

[3m0o]

Innanzitutto ho eliminato i logaritmi elevando il tutto al quadrato

$sqrt(x^3-2x^2+x)=2^1 + (x-1)$

Non puoi fare questo passaggio... infatti puoi "eliminare" i logaritmi solo se hai un espressione del tipo
\[ \log(\text{qualcosa}) = \log(\text{qualcosa o qualcosa d'altro}) \]
Ma se hai una somma non puoi.
Inoltre non elevi al quadrato... ma stai applicando un esponenziale, più precisamente stai facendo questo
\[ \text{qualcosa} = 2^{\log_2(\text{qualcosa})} = 2^{\log_2(\text{qualcosa o qualcosa d'altro})}=\text{qualcosa o qualcosa d'altro} \]
che non è elevare al quadrato, ma chiamando \(f(x)=2^x\), stai applicando sia a destra che a sinistra la funzione \( f \). Ovvero \( f( \log(\text{qualcosa}) )=f( \log(\text{qualcosa o qualcosa d'altro})) \) e lo puoi fare perché \(f \) è iniettiva, dunque se gli argomenti sono uguali anche le loro immagini lo sono.
O alternativamente non applichi nulla ma noti semplicemente che il \( \log \) è una funzione iniettiva.

Poi per eliminare la radice ho elevato tutto al cubo

$(sqrt(x^3-2x^2+x))^2=2^2 + (x-1)^2$

Ammesso e non concesso che l'uguaglianza sopra scritta è valida, se elevi al quadrato, non al cubo (= elevare a \(3\)), l'espressione di sinistra dev'essere \( (2+(x-1))^2 \neq 2^2 + (x-1)^2 \)...

e questo spiega il motivo per cui non ti trovi, perché hai fatto degli errori di calcolo.
Vediamo come si procede correttamente.
Devi ricondurti ad una forma, come spiegatoti sopra del tipo \(\log(\text{qualcosa}) = \log(\text{qualcosa o qualcosa d'altro}) \).
Quindi sfrutti il fatto che \( 1 = \log_2(2) \) e poi una nota proprietà dei logaritmi. Per ottenere
\[ \log_2(\sqrt{x^3-2x^2+x})=\log_2(2(x-1))\]
ora proprio per iniettività del logaritmo possiamo dire che
\[ \sqrt{x^3-2x^2+x} = 2(x-1) \]
e le condizioni di esistenza ( \( x > 1 \) ) ci garantiscono che \(2(x-1) > 0 \) dunque possiamo elevare al quadrato e ottenere
\[ x(x-1)^2 = 4(x-1)^2 \]
siccome \( (x-1)^2 \neq 0 \) concludiamo che
\[ x = 4 \] è soluzione

[giammaria]

Do anche un altro procedimento possibile: dopo aver trovato le condizioni di esistenza, noti che estrarre la radice quadrata è lo stesso che elevare ad $1/2$ e che
$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2$
A questo punto lavori sul primo membro con i seguenti calcoli, che usano le proprietà dei logaritmi:
$log_2 sqrt(x^3-2x^2+x)=1/2 log_2 [x(x-1)^2]=1/2[log_2 x+2log_2(x-1)]=1/2 log_2 x+log_2(x-1)$
L'equazione è quindi diventata
$1/2 log_2 x+log_2(x-1)=1+log_2(x-1)$
e ti basta semplificare e concludere.

Hai idee confuse sui logaritmi e ti conviene chiarirtele; se lo desideri, in un altro post chiedi qualche breve esercizio e là ti proporrò alcune domande di "vero o falso".

[Pemberton!]

Hai idee confuse sui logaritmi e ti conviene chiarirtele; se lo desideri, in un altro post chiedi qualche breve esercizio e là ti proporrò alcune domande di "vero o falso".

Si lo so, i logaritmi mi danno parecchio filo da torcere... ma non ho capito, cosa devo fare? aprire un altro post e chiedere esercizi da fare attendendo tua risposta? E in che sezione soprattutto?

[giammaria]

La sezione è questa e puoi mettere un titolo che chiarisca che non desideri soluzioni ma esercizi, ad esempio "Chiedo brevi esercizi per capire i logaritmi". Ti conviene darne qui il titolo, così quelli che ti hanno risposto ne saranno avvisati.