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Frequento il quinto anno del liceo scientifico e quest'anno l'esame scritto di matematica e fisica è stato sostituito da un elaborato scritto delle stesse materie, e in particolare mi è stato assegnato l'argomento "Derivate e grandezze fisiche del moto (posizione, velocità, accelerazione)". Dovrei sviluppare l'argomento in modo originale e non voglio parlare delle stesse banalissime cose, anche perché ci tengo particolarmente a queste materie.
Avevo pensato di parlare delle serie di Taylor, e quindi di come trasformare qualsiasi funzione non polinomiale in polinomiale usando le derivate. Userei l'esempio del moto di un pendolo semplice la cui posizione sia proporzionale a $sin(theta)$, che per piccoli angoli possiamo sostituire direttamente con $theta$ o per una migliore approssimazione con il polinomio corrispondente.
Poi ho sentito parlare del "jerk", ovvero la derivata dell'accelerazione, che può essere utile per quantificare la variazione dell'accelerazione in funzione del tempo. So che può essere utile in certi campi ma non avrei molto di cui parlare, se non qualche accenno.
Quindi quello che vorrei sapere è se avreste qualche altra idea da suggerirmi, o anche qualcosa da aggiungere a quello che ho detto.
Grazie

Beh, dipende da quali sono quelle che consideri le "stesse banalissime cose" da non proporre.
A cosa in particolare ti riferisci?

Per cose banalissime intendo per esempio il dire che la velocità istantanea è la derivata della posizione in funzione del tempo, con relativa dimostrazione (limite del rapporto incrementale...) . Lo stesso vale per l'accelerazione come derivata seconda della posizione. Queste cose dovrò comunque affrontarle nell'elaborato ma non vorrei soffermarmi più del necessario.

Per l'approssimazione $sin theta ~~ theta$ non serve Taylor: basta il limite notevole $lim_(theta -> 0) (sin theta)/theta = 1$.

Quello che potrebbe essere interessante è osservare come conoscendo ovunque l'accelerazione di un punto materiale e conoscendo la sua posizione e la sua velocità in un solo stesso istante si riesce a determinare la sua legge oraria. Questo si traduce in un problema di Cauchy del secondo ordine:

$\{(x^(\prime \prime) (t) = a(t)), (x(t_0)=x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$

che si dimostra facilmente avere un'unica soluzione (basta fare il calcolo esplicito con una integrazione per parti).
Di qui potresti passare ad analizzare relazioni più complicate tra posizione e velocità/accelerazione/entrambe che consentono di determinare univocamente le leggi orarie: ad esempio, il problema di Cauchy:

$\{(x^{\prime \prime} (t) + omega^2 x(t) = 0), (x(t_0) = x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$

determina un moto armonico, oppure un problema del tipo:

$\{(x^{\prime \prime} (t) + mu x^\prime (t) = 0), (x(t_0) = x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$

che determina l'equazione di un moto smorzato... Gli esempi sono tanti ed avresti una vasta gamma di scelta.
In più, per queste classi di problemi semplici, è possibile ottenere formule esplicite per rappresentare le soluzioni (mediante seni e coseni o esponenziali).

Grazie per la risposta ma non so se potrei parlare del problema di Cauchy, devo informarmi, perché qui una parte importante viene svolta dagli integrali ma dovrei parlare solo di derivate...

Ahi, ahi ahi. Volevo consigliarti anch'io una cosa con le equazioni differenziali che ho dato ad un mio studente: il teorema dell'impulso.

@melia ha scritto:Ahi, ahi ahi. Volevo consigliarti anch'io una cosa con le equazioni differenziali che ho dato ad un mio studente: il teorema dell'impulso.

Purtroppo la consegna è troppo limitata, però vorrei saperne di più anche se non posso utilizzare quello che mi hai detto in questa specifica occasione. Ti riferisci solamente al fatto che l'impulso è l'integrale della forza rispetto al tempo o c'è qualcos'altro?

Ad uno studente ho assegnato un problema sul lancio del Soyuz, nel quale, da una serie di dati iniziali, doveva calcolare l'impulso della navicella durante l'ascesa verticale (equazione differenziale del primo ordine, ovvero un semplice integrale con problema di Cauchy), la sua legge del moto (un altro integrale), la velocità istantanea della navetta, l'accelerazione alla quale sono sottoposti gli astronauti durante l'ascesa verticale (qui rientrano in gioco le derivate). Il problema non è particolarmente difficile, ma ci sono diverse cose da calcolare ed è corredato da alcune domande di teoria.

Ad un altro studente ho assegnato un problema sul moto nel piano, con le coordinate espresse tramite il tempo. Questo è più centrato sulle derivate, perché chiedevo il modulo del vettore velocità, con direzione e verso, e idem per l'accelerazione. Poi, eliminato il parametro tempo, anche il grafico della traiettoria.

Una cosa facile ma non troppo solita è mostrare come da un grafico dello spazio in funzione del tempo si possono dedurre informazioni su velocità ed accelerazione. Puoi anche aggiungere che nel linguaggio comune si parla di accelerazione pensando al valore assoluto della velocità: ad esempio, se la curva è decrescente con concavità verso il basso si dice che il corpo va all'indietro, accelerando.

Beh, scusa, che ci vuole a ricavare l’equazione del moto partendo dalla legge oraria?
Nulla.