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Spesso in atematica si utilizza questa notazione $dy/dx$ che viene usata come simbolo per indicare la derivata di una variabile rispetto ad un altra. In fisica però si utilizza spesso questo metodo $dx/(dphi)(dphi)/dt$ per indicare l'operazione di funzione composta, vedendo quel simbolo come una frazione tra due differenziali. Probabilemente mi direte che è così che intendevano la derivata i padri del calcolo, che è più semplice fare così ecc, ma io vorrei sapere come andrebbe fatta la stessa operazione utilizzando un procedimento più rigoroso, d'altronde mi pare di aver imparato che la matematica deve essere tale, non è che quando ci fa comodo dobbiamo perdere di rigore.
Potreste per favore spiegarmi quale sarebbe la notazione formalmente corretta per eseguire la stessa operazione?

La notazione \(\frac{dy}{dx}\) non rappresenta una frazione tra due differenziali, ma semplicemente la derivata di \(y\) rispetto a \(x\). La formula di derivazione di una funzione composta si ottiene usando quella formula. Infatti la derivata di \(x\bigl(\phi(t)\bigr)\) rispetto a \(t\) si ottiene calcolando la derivata di \(x\) rispetto al suo argomento \(\phi\) e moltiplicarla per la derivata di \(\phi\) rispetto al suo argomento \(t\). Il risultato è quindi \(\frac{dx}{d\phi} \frac{d\phi}{dt}\) come hai scritto. In un certo senso questa formula è proprio la ragione dietro a questa notazione.

Ovviamente un discorso un po' diverso si ha quando si parte effettivamente da differenziali e si fanno dei passaggi non formalmente corretti.

Capisco, quindi nei passaggi in cui si simostra una formula fisica, io posso utilizzare la forma $x'(phi(t))phi'(t)$, cioè la regola della catena.

Quella che ho scritto è esattamente la regola della catena usando una notazione diversa per la derivazione. La notazione è particolarmente comoda quando si hanno funzioni in più variabili in cui è quindi necessario capire rispetto a cosa si sta derivando.

Mi permetto di dissentire da @apatriarca
La notazione significa esattamente un rapporto fra infinitesimi. Leibnitz la creò e la impiegò per derivare tutte le formule che conosciamo. Il problema all'epoca era "Ok, però che cos'è un infinitesimo?" e nessuno poteva dare una risposta alla domanda dato che non è un numero ma un concetto. Leibnitz riteneva che l'infinitesimo (e pure l'infinito) potesse essere "inglobato" in una definizione estesa dei reali...e questa affermazione spinse effettivamente Robinson (negli anni 60) a provarci. E ci riuscì, creando quella chiamata "non standard-analysis" in cui vengono usati gli iperreali.
Storicamente invece ci vollero altri 120-140 anni circa prima che Cauchy e in seguito Weirstass definissero il meravigliosamente rigoroso concetto di limite con cui trattare anche rapporti fra variazioni $(Deltay(x))/(Deltax)$ quando $Deltax -> 0$ (il rapporto incrementale), riportando l'ordine e la coerenza (o quasi) nella matematica tradizionale (ed eliminando tout court la necessità di parlare di infinitesimi o infiniti).

Da un punto di vista strettamente pratico, operazioni come $dy/dx=dy/dtdt/dx$ sono corrette e i fisici, in particolare, le adoperano tutto il tempo.
Da un punto di vista formale, è errato tanto quanto scrivere $int_a^(oo) f(x)dx$ invece di $lim_(b->oo) int_a^b f(x)dx$

Si Bokonon, ma dici che quel modo di scrivere è sbagliato formalmente per quanto riguarda l'operazione di composizione? Cosa diciamo allora quando vedo nei libri di fisica semplificare il $dt$ ?

Mi pare che ti avessero già risposto …

Per quanto Leibniz o l'analisi non standard (e spesso i fisici) lo ritengano effettivamente un quoziente, in analisi standard è solo una notazione comoda. La formula è semplicemente la regola della catena per le funzioni composte. Non c'è nulla di formalmente scorretto nel suo uso. Altri casi sono invece certamente più discutibili e richiedono effettivamente una dimostrazione della loro validità in analisi standard.

Perfetto, ora è chiaro, grazie tante!