equazioni approssimate terzo grado: numero soluzioni

[lito13]

ciao a tutti!
Nell'ambito della ricerca di soluzioni approssimate (metodo bisezione), avrei bisogno di trovare un modo per stabilire il numero di soluzioni (non le soluzioni stesse) di un'equazione di terzo grado partendo dalla sua derivata, che naturalmente è di secondo grado essendo l'equazione di terzo grado. Ponendo la derivata uguale a zero trovo i punti di massimo, minimo o tangente. Sapendo che se il delta della derivata è maggiore di zero c'è un punto di massimo ed uno di minimo, facendo dei grafici sarei arrivato alla conclusione che se il massimo e il minimo si trovano dalla stessa parte dell'asse l'equazione ha in totale una sola soluzione, mentre se si trovano da parti opposte ce ne sono tre, perchè la funzione ha bisogno di toccare l'asse tre volte. Mentre se il delta della derivata è uguale a 0 o minore di 0, c'è una sola soluzione. Vorrei, se possibile, avere conferma che queste mie intuizioni sono corrette e valide per qualunque funzione/equazione di terzo grado e sapere se c'è una spiegazione strettamente matematica, poichè io ci sono arrivato soltanto disegnando delle funzioni e osservando per ogni tipo quante volte la funzione "tocca" l'asse.

Grazie

[gugo82]

Le considerazioni che fai sono giuste.

Ora bisogna renderle in formula.
Innanzitutto, comincia ad analizzare il caso in cui la tua funzione cubica sia del tipo:

$f(x) = x^3 + beta x^2 + gamma x + delta$

(col coefficiente di $x^3$ uguale ad $1$ per semplicità... poi vediamo come gestire il caso generale).
In tal caso la derivata prima è:

$f^\prime (x) = 3x^2 + 2beta x + gamma$

ed il suo discriminante ridotto è:

$Delta/4 = beta^2 - 3gamma$.

Qui puoi cominciare a distinguere un po' di casi: che succede per $Delta/4 <0$? E cosa per $Delta/4=0$? Infine, che cosa quando $Delta/4>0$?