Trovare la velocità in funzione del tempo

[Guidolo]

Ciao ragazzi!

$ (mgsin(α) - (B^2*l^2*v)/R * cos^2(α))=ma $

Non riesco a trovare la velocità in funzione del tempo v(t) da questa equazione; ho sostituito l'accelerazione nel secondo membro con dv/dt, e mi sono bloccato, non so come procedere.

[mgrau]

Magari ci spieghi da dove salta fuori questa cosa? Anche perchè non è proprio usuale vedere scritto il seno e il coseno di una accelerazione...
Perchè, capisci, è il tuo primo messaggio, un minimo di contesto non guasterebbe...

[Guidolo]

Si scusami, mea culpa! Ho commesso un errore di battitura, sono seno e coseno di alfa, non accelerazione.

Detto ciò, il contesto è un piano inclinato, sul quale scivola una sbarretta conduttrice, ed il sistema è immerso in un campo magnetico verticale, diretto verso l'alto. le ''rotaie'' del piano inclinato su cui scorre la sbarretta sono anch'esse conduttrici. Dovrei trovare e rappresentare graficamente l'equazione che lega la velocità della sbarretta in funzione del tempo quando questa viene lasciata libera di cadere.

Per fare ciò ho posto \(\displaystyle P||+F||=m⋅a \)

dove P|| è la componente parallela al piano della forza peso, mentre F|| è la componente parallela al piano della forza magnetica Bil.

[gugo82]

Si tratta di una equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti completa.
Ci sono formule standard che consentono di risolverla una volta che sia assegnata una condizione iniziale $v(0) = v_0 in RR$, formule che coinvolgono funzioni integrali (quando sono scritte bene) o integrali indefiniti e costanti arbitrarie da determinare (quando sono scritte male).

Se le hai viste ed hai provato ad applicarle, possiamo provare a discuterne.
Altrimenti, vattele a recuperare sul libro e prova prima a risolvere autonomamente; se non riesci, torna e mostra quel che hai fatto.

[Guidolo]

Ciao gugo82!

Avevo già letto online che si trattava di una equazione differenziale (che noi però, non abbiamo fatto!). Motivo per cui ho contattato il mio prof, e mostrandogli l'equazione, mi ha detto che si deve semplicemente integrare con due integrali definiti.

$ (gsinalpha - (B^2 l^2 v)/(Rm)cos^2alpha )d(t) = d(v) $

Arrivato a questo punto ho proceduto così:

$ v(t)= int _(t0)^(t)gsin(alpha) dt - int_(v0)^(v)(B^2l^2v)/(Rm)cos^2(alpha) dv $

$ v(t)= gsinalpha\cdot t - (B^2l^2)/(Rm) cos^2alpha \cdot v^2/2 $

[l'abatefarina]

mica puoi trasformare brutalmente un dt in un dv, tanto per dirne una
come ha detto gugo, devi usare le equazioni differenziali; la puoi vedere anche come equazione differenziale a variabili separabili
hai una cosa del tipo $(dv)/(dt)=h+kv$ cioè $(dv)/(h+kv)=dt$
adesso si che puoi integrare entrambi i membri

[gugo82]

Hai ragione, ma l'idea non funziona proprio così come pensi.

1. Riscrittura più semplice dell'equazione.

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Innanzitutto, cerchiamo di buttare a mare un po' di roba inutile: hai:

$ m a(t) = mgsin(alpha) - (B^2*l^2)/R * cos^2(alpha) * v(t) $

da cui, semplificando $m$ e ricordando che $a=v^\prime (t)$, ottieni:

$ v^\prime (t) = g sin(alpha) - (B^2*l^2)/(mR) * cos^2(alpha) * v(t) $;

come suggerito sopra, rinominiamo le costanti (in modo da avere oggetti più maneggevoli) ponendo:

$h = g sin(alpha) ^^ k = (B^2*l^2)/(mR) * cos^2(alpha)$,

di modo che l'equazione diventa:

$v^\prime (t) = h - k*v$.

Fatta questa operazione di semplificazione/maquillage, proviamo a risolvere l'equazione.¹

2. Ricerca delle soluzioni costanti.

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Innanzitutto determiniamo le soluzioni costanti, i.e. le soluzioni del tipo $v(t) = v^**$ (con $v^** in RR$): sostituendo:

$v(t) = v^**$ e $v^\prime (t) = 0$

nell'equazione otteniamo un'equazione da cui ricavare la costante $v^**$:

$0=h-k*v^** <=> v^** = h/k = (g sin alpha)/((B^2 l^2)/(m R)*cos^2 alpha) <=> v^** = (mgR)/(B^2 l^2)*(sin alpha)/(cos^2 alpha)$;²

dunque:

$v(t) = (mgR)/(B^2 l^2)*(sin alpha)/(cos^2 alpha)$

è l'unica soluzione costante dell'equazione differenziale.

3. Ricerca delle altre soluzioni.

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Per fatti importanti di teoria che al liceo non si nominano nemmeno, le altre soluzioni $v(t)$ (quelle non costanti) non assumono mai il valore $v^**$: per tale motivo, le soluzioni non costanti sono tali che:

$h-k*v(t) != 0$ per ogni $t$ nel dominio.

Questo fatto, ha due conseguenze importanti.
La prima è che, per continuità, risulta:

(A) o sempre $h-k*v(t) > 0$ per ogni $t$ nel dominio oppure sempre $h-k*v(t) < 0$ per ogni $t$ nel dominio.

La seconda è che possiamo dividere ambo i membri dell'equazione differenziale $v^\prime (t) = h-k*v(t)$ per il secondo membro ed ottenere:

$(v^\prime (t))/(h-k*v(t)) = 1$,

da cui, integrando tra un istante fissato $t_0$ ed un istante variabile $t$, ricaviamo:³

$int_(t_0)^t (v^\prime (tau))/(h-k*v(tau)) " d"tau = int_(t_0)^t 1 " d" tau <=> int_(t_0)^t (v^\prime (tau))/(h-k*v(tau)) " d"tau = t - t_0$

e per terminare basta risolvere l'integrale al primo membro, cioè $int_(t_0)^t (v^\prime (tau))/(h-k*v(tau)) " d"tau$.
Ricordando la formula di integrazione del logaritmo possiamo scrivere:

$int_(t_0)^t (v^\prime (tau))/(h-k*v(tau)) " d"tau = -1/k * int_(t_0)^t (-k*v^\prime (tau))/(h-k*v(tau)) " d"tau = [-1/k * log|h-k*v(tau)|]_(t_0)^t = -1/k * log|(h-k*v(t))/(h-k*v(t_0))|$,

dunque la soluzione dell'equazione differenziale è del tipo:

$-1/k * log|(h-k*v(t))/(h-k*v(t_0))| = t-t_0$.

Infine, dobbiamo esplicitare la soluzione risolvendo l'uguaglianza precedente rispetto a $v(t)$.
Per la proprietà (A) numeratore e denominatore della frazione $(h-k*v(t))/(h-k*v(t_0))$ hanno lo stesso segno (o entrambi positivi o entrambi negativi), dunque il rapporto è sempre positivo e per questo motivo possiamo eliminare tranquillamente il valore assoluto, ottenendo l'equazione logaritmica:

$-1/k * log (h-k*v(t))/(h-k*v(t_0)) = t-t_0 <=> log (h-k*v(t))/(h-k*v(t_0)) = -k*(t-t_0) <=> (h-k*v(t))/(h-k*v(t_0)) = e^(-k(t-t_0))$

da cui segue:

$h-k*v(t) = (h-k*v(t_0)) * e^(-k(t-t_0)) <=> k*v(t) = h - (h-k*v(t_0)) * e^(-k(t-t_0)) <=> v(t) = h/k - (h-k*v(t_0))/k * e^(-k(t-t_0))$.

Quindi la soluzione dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione $v(t_0)=v_0$ è unica ed è data da:

$v(t) = h/k - (h/k - v_0) * e^(-k(t-t_0))$

o, ricordando che $v^**=h/k$, anche:

$v(t) = v^** - (v^** - v_0) * e^(-k(t-t_0))$

che è "più pulita".

4. Analisi qualitativa.

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Le soluzioni non costanti dell'equazione sono esponenziali e presentano tutte un asintoto orizzontale in $+oo$, indipendentemente dall'istante $t_0$ e dal valore $v_0$ scelti per scrivere le "condizioni iniziali" accoppiate al problema. Infatti, si vede che:

$lim_(t -> + oo) v(t) = lim_(t -> +oo) v^** - (v^** - v_0) * e^(-k(t-t_0)) = v^**$

(osserviamo che $e^(-k(t-t_0)) -> 0$ perché $-k<0$), dunque la retta di equazione $v=v^**$ è asintoto orizzontale a destra.
Fisicamente ciò significa che il moto che si osserva ha una "velocità limite", precisamente proprio la velocità $v^**$ il cui valore è quello dell'unica soluzione costante dell'equazione differenziale.
Inoltre, la velocità di ogni moto osservato decresce strettamente fino a stabilizzarsi attorno alla "velocità limite" $v^**$.

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Note

1. Ricorda che una soluzione di un'equazione differenziale è una funzione $v(t)$ che sostituita nell'equazione insieme con la propria derivata prima restituisce un'identità. ↑
2. Osserva che $v^**$ (cioè il valore assunto dalla soluzione costante) è l'unica soluzione dell'equazione $h-k*v=0$. ↑
3. L'equazione riscritta al modo precedente si può interpretare come uguaglianza di due funzioni della variabile $t$, cioè $(v^\prime (t))/(h-k*v(t))$ e la funzione costante $1$. Se tale disuguaglianza è valida, anche le primitive delle due funzioni sono uguali o, per meglio dire, le primitive differiscono per una costante additiva; in particolare, risultano uguali tra loro le funzioni integrali calcolate nello stesso punto iniziale $t_0$. ↑

[l'abatefarina]

giusto, la soluzione costante
quando si pensa subito ad applicare la tecnica risolutiva, sfugge