Numero di intersezioni delle diagonali di un poligono

[Raff_321]

Salve, vorrei porre un quesito che è nato dalla risoluzione del seguente problema: dato un poligono di n lati, quanti sono al massimo i punti in cui si intersecano le sue diagonali?

Dato un poligono di $ n $ lati, il numero delle sue diagonali è pari a $ D=( (n), (2) ) -n= (n(n-3))/2 $ . Devo ora trovare il massimo numero di intersezioni, distinte dai vertici del poligono, fra le diagonali. Due diagonali qualunque, senza ordine, si scelgono in $ ( (D), (2) ) $ modi. Ci sono però anche coppie di diagonali che si incontrano nei vertici; dato che da ogni vertice "partono" esattamente $ n-3 $ diagonali, devo togliere, per ogni vertice, le intersezioni a due a due di queste $ n-3 $ diagonali, cioè devo sottrarre la quantità $ n( (n-3), (2) ) $. Il numero massimo di intersezioni fra le diagonali è dunque pari a:
$ I= ( (D), (2) )- n( (n-3), (2) )= (n(n-3)(n^2-7n+14))/8 $

Tale risultato sembra però entrare in contrasto con un altro ragionamento, che ho desunto da un esercizio delle dispense olimpioniche. Lì un esercizio chiede di dimostrare che le diagonali di un poligono convesso di n lati si intersecano in $ ( (n), (4) ) $ punti interni al poligono, e pare logico, in quanto scelti quattro punti, ho due sole diagonali e dunque un solo punto di intersezione fra loro. Il fatto è che $ ( (n), (4) )!= I $ . Uno dei due risultati è sbagliato e l'altro corretto? Oppure uno dei due conta qualcosa in più dell'altro?

[Bokonon]

E' corretto $C(n,4)$
Il significato è semplice:
4 vertici=un quadrilatero=un solo punto
n vertici: quanti quadrilateri possiamo costruire? $C(n,4)$= il numero di intersezioni distinte.

[Raff_321]

Se è la seconda opzione ad essere corretta, praticamente cos'è che il primo ragionamento conta di diverso (e in più)?