Condizione concordanza segni

[massimino's]

Che poi in realtà in questo caso prendendo $a>b$ nel caso particolare a>0 (ad es. la radice è sempre positiva e mettiamo a rappresenti la radice), ora, se quadrassi senza aggiungere condizioni avrei $a^2>b^2$ ora se risolvessi questa nuova equazione cioè passatemi il termine "tornassi indietro" essa sarebbe verificata nei confronti di a solo quandoc ho che: $a>b \or a<-b$ quindi quadrando perdo soluzioni, imponendo $b>=0$ mi risolvo questo problema poiché scarto $a<-b$.

(Poi ovviamente sarebbe da studiare b<0)

Cioè insomma, quadrare una equazione mi introduce soluzioni se risolta (rispetto all'originale non quadrata), mentre quadrare una disequazione me ne farebbe perdere.
Giusto?

[gugo82]

@gugo82

Grazie anche a te per l'intervento
Ti dirò in realtà non ho un vero e proprio esercizio guida, nel senso che ogni volta li risolvo ragionando sul dato esercizio e quindi non ne ho uno che non so fare. Ma mi è sorto più che altro il dubbio teorico da questa considerazione:

Nelle equazioni sono costretto a scrivere data l'irrazionale $sqrt(f(x))=g(x)$ la così detta "concordanza" $g(x)>=0$ e serve per impedire di introdurre soluzioni elevando al quadrato. Questo perché la radice è per convenzione positiva ma la soluzione di una equazione con potenza positiva porta a soluzione sia per il caso positivo che negativo. In poche parole, se ho $sqrta=b$ quando scrivo $a=b^2$ mi accorgo che tornando indietro (ossia risolvendo pet tutti i valori che rendono vera la mia nuova equazione) è verificata per due valori $b=+-sqrta$ insomma questo testimonia che avrei introdotto una soluzione elevando impunemente. Imponendo la concordanza, invece, $b>=0 $ intervengo limitado il caso al solo positivo e tutto torna: l'elevamento a potenza positiva è legale

E mi son detto: perché diamine nelle equazioni si e nelle disequazioni no? Dove sto già considerando la "concordanza" (cioè il non introdurre soluzioni purr quadrando la disequazione) senza che mi accorga?

Beh, facile.
Una quantità non negativa (cioè, $>=0$), quale è $sqrt(f(x))$, non può mai uguagliare $g(x)$ se quest’ultima è $<0$.
Pertanto l’equazione $sqrt(f(x)) = g(x)$ ha le stesse soluzioni del sistema:

$\{(f(x) >=0, text(condizione di esistenza della radice)), (g(x) >=0, text(vincolo di segno)), (f(x) = g^2(x), text(equazione liberata dalle radici)):}$.

Analogamente, la disequazione $sqrt(f(x)) > g(x)$ è sempre risolta quando $g(x) <0$ (perché il primo membro, non negativo, è certamente maggiore del secondo, negativo) e potrebbe averne anche quando $g(x) >=0$.
Conseguentemente, la disequazione $sqrt(f(x)) > g(x)$ ha le stesse soluzioni dei sistemi:

$\{(f(x) >= 0, text(condizione di esistenza della radice)), (g(x) < 0, text(vincolo di segno)):} vv \{(f(x) >=0, text(condizione di esistenza della radice)), (g(x) >=0, text(vincolo di segno)), (f(x) > g^2(x), text(disequazione liberata dalle radici)):}$.

Basta ragionare.
Utilizzare “formulette magiche” non serve a nulla.

[massimino's]

Certamente, quello che dici mi torna alla perfezione ed è proprio il modo che uso per le risoluzioni. Però forse sono ciecato dal dubbio e non vedo le vostre risposte, tuttavia mi sembra di aver portato fuori strada e mi scuso per essermi espresso male, però quel ragionamento mi torna in toto fin da principio

Quello che vorrei piuttosto chiedere e forse l'ho messa giù male era che: volevo capire se come quando quadro una equazione (che mi porta a introdurre soluzioni che riduco allaquantità iniziale, proprio fissando $g(x)>=0$, anche il quadrare ambo i membri di una disequazione portava a cambiarmi l'insieme di soluzioni di essa.

Mi sembra questa a seguire risponda alla domanda, secondo voi ho detto cose giuste?...

Che poi in realtà in questo caso prendendo $a>b$ nel caso particolare a>0 (ad es. la radice è sempre positiva e mettiamo a rappresenti la radice), ora, se quadrassi senza aggiungere condizioni avrei $a^2>b^2$ ora se risolvessi questa nuova equazione cioè passatemi il termine "tornassi indietro" essa sarebbe verificata nei confronti di a solo quandoc ho che: $a>b \or a<-b$ quindi quadrando perdo soluzioni, imponendo $b>=0$ mi risolvo questo problema poiché scarto $a<-b$.

(Poi ovviamente sarebbe da studiare b<0)

Cioè insomma, quadrare una equazione mi introduce soluzioni se risolta (rispetto all'originale non quadrata), mentre quadrare una disequazione me ne farebbe perdere.
Giusto?

[gugo82]

No, non sempre.
Ad esempio, $sqrt(x) <= -1$ è ovviamente impossibile, ma $x <=1$ soluzioni ne ha.

Il punto è che fare operazioni “a ç@%%0” su una disequazione o un’equazione non è mai una buona scelta.
Bisogna ragionare, come tu stai già facendo.

[massimino's]

Che poi in realtà in questo caso prendendo $a>b$ nel caso particolare a>0 (ad es. la radice è sempre positiva e mettiamo a rappresenti la radice), ora, se quadrassi senza aggiungere condizioni avrei $a^2>b^2$ ora se risolvessi questa nuova equazione cioè passatemi il termine "tornassi indietro" essa sarebbe verificata nei confronti di a solo quandoc ho che: $a>b \or a<-b$ quindi quadrando perdo soluzioni, imponendo $b>=0$ mi risolvo questo problema poiché scarto $a<-b$.

(Poi ovviamente sarebbe da studiare b<0)

Cioè insomma, quadrare una equazione mi introduce soluzioni se risolta (rispetto all'originale non quadrata), mentre quadrare una disequazione me ne farebbe perdere.
Giusto?


No, non sempre.
Ad esempio, $sqrt(x) <= -1$ è ovviamente impossibile, ma $x <=1$ soluzioni ne ha.

Il punto è che fare operazioni “a ç@%%0” su una disequazione o un’equazione non è mai una buona scelta.
Bisogna ragionare, come tu stai già facendo.

Grazie, in effetti cercavo di generalizzare ma ho preso una cantonata.

Grazie mille per i tuo aiuto!