\[ a_n = 2a_{n-1} - a_{n-11} \]
Oppure se vuoi capirlo a partire dalla serie. Dovrebbe esserci un metodo a partire direttamente dalla funzione generatrice, ma attualmente non lo trovo onestamente.
Però puoi sempre fare delle osservazioni e delle ipotesi, e poi cercare di dimostrare le tue ipotesi.
Ad esempio a partire da
\[ \sum_{k=0}^{\infty} (x+\ldots+x^{10})^k \]
è facile verificare che \(a_0=1\) e \(a_n=2^{n-1} \) con \( 1 \leq n \leq 10 \), basta osservare il triangolo di tartaglia che appare e sapere che la somma dell'\(n\)-esima riga del triangolo di tartaglia è appunto \(2^{n-1} \).
Ad esempio per ottenere il coefficiente di \(x^6 \) è somma dei coefficienti di \(x^6 \) presenti nelle espansioni \( (x+\ldots+x^{10})^k \) con \(1 \leq k \leq 6 \).
- Per il coefficiente di \(x^{11} \), lo ottieni come somma dei coefficienti di \(x^{11} \) presenti nelle espansioni \( (x+\ldots+x^{10})^k \) con \(2 \leq k \leq 11 \). E noti che sono i primi 10 termini della \(10\)-ima riga del triangolo di tartaglia ma l'ultimo \(1\) non è presente quindi ottieni \(a_{11} = 2^{10} - 1 = 2 \cdot a_{10} - a_{0} \)
- Per il coefficiente di \(x^{12} \), lo ottieni come somma dei coefficienti di \(x^{12} \) presenti nelle espansioni \( (x+\ldots+x^{10})^k \) con \(3 \leq k \leq 12 \). E noti che sono i primi 10 termini della \(11\)-ima riga del triangolo di tartaglia più un 9. Ma \(9 = 11 - 2 \) quindi diventa la somma dei primi 11 termini della \(11\)-ima riga triangolo di tartaglia meno l'ultimo 1. E quindi \(a_{12} = 2^{11} -2 - 1 = 2 \cdot (2^{10} - 1)- a_{1}= 2 a_{11} - a_{1} \)
- Per il coefficiente di \(x^{13} \), lo ottieni come somma dei coefficienti di \(x^{13} \) presenti nelle espansioni \( (x+\ldots+x^{10})^k \) con \(4 \leq k \leq 13 \). E noti che sono i primi 10 termini della \(12\)-ima riga del triangolo di tartaglia più un 63 e più un 8. Ma \(8 = 12 - 4 \) e \(63=66-3 \) quindi diventa la somma dei primi 12 termini della \(12\)-ima riga triangolo di tartaglia meno l'ultimo 1. E quindi \(a_{13} = 2^{12} -3- 4 - 1 = 2 \cdot (2^{11} - 3)- a_{2}= 2 a_{12} - a_{2} \)
Quindi ipotizzi che sia vero per ogni \(n > 10 \) e provi a dimostrarlo come sopra.
Oppure ancora dimostri che per ogni \( n > 10 \) è vero che
\[ a_{n} = \sum_{k=n-10}^{n-1} a_k \]
Abbiamo che il coefficiente \(a_{n} \) è presente in questa serie
\[ \sum_{k=0}^{\infty} (x+\ldots+x^{10})^k \]
ora siccome con \(n > 10 \) il termine \(k=0 \) non da alcuna contribuzione pertanto il coefficiente \(a_{n} \) in questa serie è il medesimo.
\[ \sum_{k=1}^{\infty} (x+\ldots+x^{10})^k \]
Mettendo in evidenza un \( (x+\ldots+x^{10}) \) otteniamo
\[ (x+\ldots+x^{10}) \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (x+\ldots+x^{10})^{k-1}= (x+\ldots+x^{10}) \cdot \sum_{k=0}^{\infty} (x+\ldots+x^{10})^{k}\]
E quindi
\[ a_{n} = \sum_{k=n-10}^{n-1} a_k \]
Dopo di che ti basta osservare che
\[ a_{n} = \sum_{k=n-10}^{n-1} a_k = a_{n-1} + \sum_{k=n-10}^{n-2} a_k =a_{n-1} + \left( \sum_{k=n-11}^{n-2} a_k \right) - a_{n-11} = 2a_{n-1} - a_{n-11} \]
