Disequazione Goniometrica Inversa: problemi con arcoseno

[Pemberton!]

Buonasera a tutti ragazzi belli

Mi sono reso conto che calcolare un dominio con un qualunque arcocos/sen/tan presente è per me facile se basta studiarne il suo argomento e porlo $-1 leq (argom) leq 1$

Ma ho difficolta, anzi, non ho proprio chiaro come trovare il campo di esistenza di una disequazione del genere:

$y=sqrt(ln(arcsen(x))$

ho ragionato ponendo:

1) argomento dell'arcoseno come scritto sopra: $-1 leq x leq 1$

2) argomento del logaritmo $>0$ : $arcsen(x)>0$

3) argomento radice $geq0$ : $ln(arcsen(x))geq0$


Il primo punto ovviamente è già risolto e sta bene così com'è. Adesso vi scrivo il secondo

2) $sen(arcsen(x)) > sen(0)$ $rightarrow$ $x>sen(0)$
Dunque, essendo l'arcoseno definito in $[-1;+1]$, per completezza devo limitare superiormente la disequazione appena trovata:
$sen(0)<xleq1$ ed essendo sen(0)=0, posso scrivere

$0<xleq1$

giusto o sto sbagliando qualcosa?

Seguendo analoghi ragionamenti, con il terzo punto mi trovo che

3)$ln(arcsen(x)geq0$ che diventa $arcsen(x)geq1$ che diventa $ x geq sen(1)$
e a sua volta devo limitare superiormente l'equazione per via del dominio dell'arcoseno, per cui mi trovo

$sen(1) leq x leq 1$

Intersecando i tre risultati trovati, ne ricavo che il Dominio della disequazione è proprio il punto 3:

$sen(1) leq x leq 1$


Spero di aver fatto bene e di dovervi scocciare solo per controllare i miei calcoli e non per correggermeli...

[3m0o]

Hai fatto giusto.

Se ti trovi meglio per velocizzare il calcolo puoi ragionare al contrario. Mi spiego.
Poni \( \ell = \ln(a) \) ed \( a = \arcsin(x) \), e tratti \( \ell \) ed \(a\) come variabili senza preoccuparti troppo (come la "x" per capirci)
Sai che \( \sqrt{\ell} \) è definita con \( \ell \geq 0 \) quindi \( \ell = \ln(a) \geq 0 \) con \(a \geq 1 \),
ora \( a = \arcsin(x) \geq 1 \) con \( x \geq \sin(1) \) ed \(x \) nel dominio di \( \arcsin \)
Dunque fai l'intersezione \( [-1,1] \cap [ \sin(1), + \infty ] = [\sin(1),1] \), prendi \( [-1,1] \) perché è il dominio di \( \arcsin \)

Per capire il perché, formalmente, si procede così per trovare il dominio di funzioni composte:

Se hai due funzioni \( f : A \to B \) e \( g : X \to Y \) allora il dominio di \( g \circ f \) è l'insieme \( U:= \{ x \in A : f(x) \in X \} \subset A \) e ottieni dunque
\[g \circ f : U \xrightarrow{f} X \xrightarrow{g} Y \]
\[ U \ni x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x)) \in Y \]

Intuitivamente stai facendo questo:
- prendi l'immagine di \(f \), \(f(A) \)
- Ora vuoi poterla comporre con \( g\) quindi ti servono gli elementi di \(f(A) \) che stanno anche in \(X\) perché \(g\) è definita solo su \(X\). Quindi prendi l'intersezione che ti restituisce i valori che stanno in entrambi gli insiemi: \(f(A) \cap X \).
- A te interessa però il dominio \(U\), quindi che valori può assumere la \(x\) e quindi torni indietro prendendo la pre-immagine di \(f \), ovvero \(f^{-1} \), su \(f(A) \cap X \), per ottenere dunque il dominio : \( U=f^{-1} \left( f(A) \cap X \right) \)

Ora se hai un'altra funzione \( h : W \to Z \) applichi lo stesso ragionamento per trovare il dominio di \( h \circ g \circ f \), che è dunque \( V := \{ x \in U : g(f(x)) \in W \} \subset U \). E ottieni quindi
\[h \circ g \circ f : V \xrightarrow{g \circ f} W \xrightarrow{h} Z \]
\[ V \ni x \mapsto g(f(x)) \mapsto h(g(f(x))) \in Z \]

Intuitivamente è come sopra:
- prendi l'immagine di \(g \circ f \), \(g(f(U)) \)
- Ora vuoi poterla comporre con \( h\) quindi ti servono gli elementi di \(g(f(U)) \) che stanno anche in \(W\) perché \(h\) è definita solo su \(W\). Quindi prendi l'intersezione che ti restituisce i valori che stanno in entrambi gli insiemi: \(g(f(U)) \cap W \).
- A te interessa però il dominio \(V\), quindi che valori può assumere la \(x\) e quindi torni indietro prendendo la pre-immagine di \(g \circ f \) e ottieni il dominio: \( V=(g \circ f)^{-1} \left( g(f(U)) \cap W \right) = f^{-1} \left( g^{-1} \left( g(f(U)) \cap W \right) \right) \)

Nel tuo caso hai dunque
\( \arcsin : [-1,1] \to \mathbb{R} \), \( \ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R} \), \( \sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \) e vuoi cercare il dominio di \( \sqrt{\cdot} \circ \ln \circ \arcsin : V \to \mathbb{R}_+\).
Per farlo trovi prima il dominio \(U\) di \( \ln \circ \arcsin : U \subset [-1,1] \to \mathbb{R} \), come?
\[ U := \{ x\in [-1,1] : \arcsin(x) \in \mathbb{R}_+^* \} = (0,1] \]
Ora trovi il dominio \(V \) di \( \sqrt{\cdot} \circ \ln \circ \arcsin \)
\[ V:= \{ x \in U=(0,1] : \ln(\arcsin(x)) \in \mathbb{R}_+ \} = [\sin(1),1] \]
(i calcoli sono esattamente quelli che hai fatto te)

[axpgn]

Mi sono reso conto che calcolare un dominio con un qualunque arcocos/sen/tan presente è per me facile se basta studiarne il suo argomento e porlo $-1 leq (argom) leq 1$

Non mi pare che l'argomento di $arctan$ sia compreso tra più o meno uno ...

[Pemberton!]

Mi sono reso conto che calcolare un dominio con un qualunque arcocos/sen/tan presente è per me facile se basta studiarne il suo argomento e porlo $-1 leq (argom) leq 1$

Non mi pare che l'argomento di $arctan$ sia compreso tra più o meno uno ...

Si è vero, solo arcsen e arccos. Ho scritto alla leggera senza pensarci.

[Pemberton!]

Hai fatto giusto.

Se ti trovi meglio per velocizzare il calcolo puoi ragionare al contrario. Mi spiego.
.......
(i calcoli sono esattamente quelli che hai fatto te)

Cavoli, che risposta. Mi devo applicare un bel po per capire e comprendere bene il discorso, sono abituato a risolvere seguendo i metodi "lunghi e tradizionali", dato che questi calcoli che hai fatto tu, seppur più veloci e semplici oggettivamente, li trovo più contorti e complicati.

Grazie comunque !

[3m0o]

La prima parte della risposta

Se ti trovi meglio per velocizzare il calcolo puoi ragionare al contrario. Mi spiego.
Poni \( \ell = \ln(a) \) ed \( a = \arcsin(x) \), e tratti \( \ell \) ed \(a\) come variabili senza preoccuparti troppo (come la "x" per capirci)
Sai che \( \sqrt{\ell} \) è definita con \( \ell \geq 0 \) quindi \( \ell = \ln(a) \geq 0 \) con \(a \geq 1 \),
ora \( a = \arcsin(x) \geq 1 \) con \( x \geq \sin(1) \) ed \(x \) nel dominio di \( \arcsin \)
Dunque fai l'intersezione \( [-1,1] \cap [ \sin(1), + \infty ] = [\sin(1),1] \), prendi \( [-1,1] \) perché è il dominio di \( \arcsin \)

Magari non si è capito bene com'era strutturata la mia risposta. Questa è la parte diciamo "pratica". Per velocizzare il processo di ricerca del dominio nei casi che interessa a te, quindi dominio di funzioni continue etc. Se non ti è chiaro qualche passaggio domanda pure.

La seconda parte della risposta

Per capire il perché, formalmente, si procede così per trovare il dominio di funzioni composte:

Se hai due funzioni \( f : A \to B \) e \( g : X \to Y \)
[...]
(i calcoli sono esattamente quelli che hai fatto te)

Questa parte invece è per spiegarti cosa stai facendo. Perché ho avuto l'impressione (e potrei sbagliarmi) dal modo in cui hai cercato il dominio che tu provi a ragionare in questo modo:
"Okay devo trovare un dominio... faccio un sistema di disequazioni e trovo il dominio... ora che sistema faccio? E poi delle varie soluzioni delle singole disequazioni cosa me ne faccio? Le interseco? Prendo quella più restrittiva?"
Sostanzialmente ho avuto l'impressione che non ti fosse chiaro il concetto che stavi trattando.
Non fraintendermi è giusto ragionare facendo un sistema. Ma se hai in chiaro quello che stai cercando e il suo significato, ti risulta chiaro cosa fare, come fare e come impostare il sistema. Non volevo dire che per cercare il dominio devi procedere come nella seconda parte, anzi. Però era per chiarirti quali sono gli oggetti che stai trattando: insiemi! Insiemi su cui una funzione è definita e vuoi trovare un insieme che ti rende il tutto compatibile con la composizione delle funzioni che possiedi!


Per chiarirti meglio quanto detto nella seconda parte magari ti faccio un esempio.

Intuitivamente stai facendo questo:
- prendi l'immagine di \( f \), \( f(A) \)
- Ora vuoi poterla comporre con \( g \) quindi ti servono gli elementi di \( f(A) \) che stanno anche in \( X \) perché \( g \) è definita solo su \( X \). Quindi prendi l'intersezione che ti restituisce i valori che stanno in entrambi gli insiemi: \( f(A) \cap X \).
- A te interessa però il dominio \( U \), quindi che valori può assumere la \( x \) e quindi torni indietro prendendo la pre-immagine di \( f \), ovvero \( f^{-1} \), su \( f(A) \cap X \), per ottenere dunque il dominio : \( U=f^{-1} \left( f(A) \cap X \right) \)

Prendiamo queste due funzioni
\[ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \]
\[ \mathbb{Q} \ni \frac{a}{b} \mapsto f(\frac{a}{b})=\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a} & \text{se} & a \neq 0 \\
0 & \text{se} & a = 0
\end{matrix}\right. \]
e prendiamo
\[ g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \]
\[ \mathbb{N} \ni n \mapsto g(n) = n+1 \]
Attenzione: L'insieme \( \mathbb{Q} \) è composto solo dalle frazioni ridotte ai minimi termini.

Vuoi cercare il dominio \(U\) di \( g \circ f : U \to \mathbb{N} \).
1) Prendi l'immagine di \(f\), ovvero \( f(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q} \).
2) Prendi l'intersezione con il dominio di \(g \) quindi \( f(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{N} = \mathbb{Q} \cap \mathbb{N} = \mathbb{N} \)
Cos'è la composizione di funzione \( g \circ f \)? Significa che ad un valore \( x \in \mathbb{Q} \) tramite la regola di \(f \) tu gli assegni un altro valore. Si scrive
\[ x \mapsto f(x) \]
Ora se vuoi applicare \(g\) puoi pensarla così: "\(x\) sta ad \(f\) come \(f(x)\) sta a \(g\)". Nel senso che nella composizione l'argomento di \(g \) è il valore \(f(x)\), esattamente come l'argomento di \(f\) è il valore \(x\).
\[ f(x) \mapsto g(f(x)) \]
Quindi puoi vedere la \(f(x) \) come un'altra variabile \(y=f(x)\) (cambiamoli il nome)
\[ y \mapsto g(y) \]
Chiaramente i valori della \(y\) devono essere sia quelli che può prendere come argomento la \(g\) sia i valori che prende la \(f\) come immagine, per questo motivo fai l'intersezione dei due insiemi.
Dunque
\[ x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x)) \]
Per poter fare quanto detto qui sopra hai bisogno che \(f(x) \in \mathbb{N} \) perché la \(g\) prende solo naturali.

Per questo motivo prendi l'intersezione \( f(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{N} \)
3) Torni indietro cercando la pre-immagine, perché a te interessa quali valori può assumere la \(x \) dato un insieme di valori che può assumere la \(f\).
Il grosso problema ora è che \(f(x)\) potrebbe non essere un numero naturale se non scegli le \(x\) "adatte", e quindi nel caso non lo fosse non puoi darlo a \(g\). Quindi devi domandarti, per quali \(x\in \mathbb{Q} \) abbiamo che \(f(x)\) è un numero naturale? Ovvero cerchi questo insieme
\[ U=\{ x \in \mathbb{Q} : f(x) \in \mathbb{N} \} = f^{-1}(f(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{N})=f^{-1}(\mathbb{N})\]
che è il tuo dominio.
In questo caso non serve risolvere alcun sistema, ma puoi ragionare. Se \( a = 0 \) allora \( \frac{a}{b} = 0 \) per ogni \( b \in \mathbb{Z}^*\). E dunque \( f(0) = 0 \in \mathbb{N} \). E va bene!
Ora se \( a \neq 0 \), vogliamo che \(f(\frac{a}{b})= \frac{b}{a} \in \mathbb{N} \), quindi \( a= 1 \) (ti ricordo che l'insieme \( \mathbb{Q} \) è composto dalle frazioni ridotte ai minimi termini). Inoltre \( b \in \mathbb{N}^* \).
Quindi il dominio di \( g \circ f \) è
\[ U= \{ \frac{1}{b} : b \in \mathbb{N}^* \} \cup \{0\} = \{ x \in \mathbb{Q} : f(x) \in \mathbb{N} \} \]

Ma ti ripeto questo non è per mostrarti come procedere, ma per spiegarti il significato di cosa stai facendo. Se capisci il significato poi il sistema (e quindi il procedimento che hai usato te) che devi fare ti appare chiaro.

Se hai domande ponile pure.

[Pemberton!]

La prima parte della risposta

Se ti trovi meglio per velocizzare il calcolo puoi ragionare al contrario. Mi spiego.
Poni \( \ell = \ln(a) \) ed \( a = \arcsin(x) \), e tratti \( \ell \) ed \(a\) come variabili senza preoccuparti troppo (come la "x" per capirci)
Sai che \( \sqrt{\ell} \) è definita con \( \ell \geq 0 \) quindi \( \ell = \ln(a) \geq 0 \) con \(a \geq 1 \),
ora \( a = \arcsin(x) \geq 1 \) con \( x \geq \sin(1) \) ed \(x \) nel dominio di \( \arcsin \)
Dunque fai l'intersezione \( [-1,1] \cap [ \sin(1), + \infty ] = [\sin(1),1] \), prendi \( [-1,1] \) perché è il dominio di \( \arcsin \)

Magari non si è capito bene com'era strutturata la mia risposta. Questa è la parte diciamo "pratica". Per velocizzare il processo di ricerca del dominio nei casi che interessa a te, quindi dominio di funzioni continue etc. Se non ti è chiaro qualche passaggio domanda pure.

La seconda parte della risposta

Per capire il perché, formalmente, si procede così per trovare il dominio di funzioni composte:

Se hai due funzioni \( f : A \to B \) e \( g : X \to Y \)
[...]
(i calcoli sono esattamente quelli che hai fatto te)

Questa parte invece è per spiegarti cosa stai facendo. Perché ho avuto l'impressione (e potrei sbagliarmi) dal modo in cui hai cercato il dominio che tu provi a ragionare in questo modo:
"Okay devo trovare un dominio... faccio un sistema di disequazioni e trovo il dominio... ora che sistema faccio? E poi delle varie soluzioni delle singole disequazioni cosa me ne faccio? Le interseco? Prendo quella più restrittiva?"
Sostanzialmente ho avuto l'impressione che non ti fosse chiaro il concetto che stavi trattando.
Non fraintendermi è giusto ragionare facendo un sistema. Ma se hai in chiaro quello che stai cercando e il suo significato, ti risulta chiaro cosa fare, come fare e come impostare il sistema. Non volevo dire che per cercare il dominio devi procedere come nella seconda parte, anzi. Però era per chiarirti quali sono gli oggetti che stai trattando: insiemi! Insiemi su cui una funzione è definita e vuoi trovare un insieme che ti rende il tutto compatibile con la composizione delle funzioni che possiedi!


Per chiarirti meglio quanto detto nella seconda parte magari ti faccio un esempio.

Intuitivamente stai facendo questo:
- prendi l'immagine di \( f \), \( f(A) \)
- Ora vuoi poterla comporre con \( g \) quindi ti servono gli elementi di \( f(A) \) che stanno anche in \( X \) perché \( g \) è definita solo su \( X \). Quindi prendi l'intersezione che ti restituisce i valori che stanno in entrambi gli insiemi: \( f(A) \cap X \).
- A te interessa però il dominio \( U \), quindi che valori può assumere la \( x \) e quindi torni indietro prendendo la pre-immagine di \( f \), ovvero \( f^{-1} \), su \( f(A) \cap X \), per ottenere dunque il dominio : \( U=f^{-1} \left( f(A) \cap X \right) \)

Prendiamo queste due funzioni
\[ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \]
\[ \mathbb{Q} \ni \frac{a}{b} \mapsto f(\frac{a}{b})=\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a} & \text{se} & a \neq 0 \\
0 & \text{se} & a = 0
\end{matrix}\right. \]
e prendiamo
\[ g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \]
\[ \mathbb{N} \ni n \mapsto g(n) = n+1 \]
Attenzione: L'insieme \( \mathbb{Q} \) è composto solo dalle frazioni ridotte ai minimi termini.

Vuoi cercare il dominio \(U\) di \( g \circ f : U \to \mathbb{N} \).
1) Prendi l'immagine di \(f\), ovvero \( f(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q} \).
2) Prendi l'intersezione con il dominio di \(g \) quindi \( f(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{N} = \mathbb{Q} \cap \mathbb{N} = \mathbb{N} \)
Cos'è la composizione di funzione \( g \circ f \)? Significa che ad un valore \( x \in \mathbb{Q} \) tramite la regola di \(f \) tu gli assegni un altro valore. Si scrive
\[ x \mapsto f(x) \]
Ora se vuoi applicare \(g\) puoi pensarla così: "\(x\) sta ad \(f\) come \(f(x)\) sta a \(g\)". Nel senso che nella composizione l'argomento di \(g \) è il valore \(f(x)\), esattamente come l'argomento di \(f\) è il valore \(x\).
\[ f(x) \mapsto g(f(x)) \]
Quindi puoi vedere la \(f(x) \) come un'altra variabile \(y=f(x)\) (cambiamoli il nome)
\[ y \mapsto g(y) \]
Chiaramente i valori della \(y\) devono essere sia quelli che può prendere come argomento la \(g\) sia i valori che prende la \(f\) come immagine, per questo motivo fai l'intersezione dei due insiemi.
Dunque
\[ x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x)) \]
Per poter fare quanto detto qui sopra hai bisogno che \(f(x) \in \mathbb{N} \) perché la \(g\) prende solo naturali.

Per questo motivo prendi l'intersezione \( f(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{N} \)
3) Torni indietro cercando la pre-immagine, perché a te interessa quali valori può assumere la \(x \) dato un insieme di valori che può assumere la \(f\).
Il grosso problema ora è che \(f(x)\) potrebbe non essere un numero naturale se non scegli le \(x\) "adatte", e quindi nel caso non lo fosse non puoi darlo a \(g\). Quindi devi domandarti, per quali \(x\in \mathbb{Q} \) abbiamo che \(f(x)\) è un numero naturale? Ovvero cerchi questo insieme
\[ U=\{ x \in \mathbb{Q} : f(x) \in \mathbb{N} \} = f^{-1}(f(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{N})=f^{-1}(\mathbb{N})\]

che è il tuo dominio.
In questo caso non serve risolvere alcun sistema, ma puoi ragionare. Se \( a = 0 \) allora \( \frac{a}{b} = 0 \) per ogni \( b \in \mathbb{Z}^*\). E dunque \( f(0) = 0 \in \mathbb{N} \). E va bene!
Ora se \( a \neq 0 \), vogliamo che \(f(\frac{a}{b})= \frac{b}{a} \in \mathbb{N} \), quindi \( a= 1 \) (ti ricordo che l'insieme \( \mathbb{Q} \) è composto dalle frazioni ridotte ai minimi termini). Inoltre \( b \in \mathbb{N}^* \).
Quindi il dominio di \( g \circ f \) è
\[ U= \{ \frac{1}{b} : b \in \mathbb{N}^* \} \cup \{0\} = \{ x \in \mathbb{Q} : f(x) \in \mathbb{N} \} \]

Ma ti ripeto questo non è per mostrarti come procedere, ma per spiegarti il significato di cosa stai facendo. Se capisci il significato poi il sistema (e quindi il procedimento che hai usato te) che devi fare ti appare chiaro.

Se hai domande ponile pure.

Adesso con l'esempio mi è più chiaro quel che hai scritto !

Detto sinceramente so quel che faccio quando imposto un sistema e lo svolgo, con l'esperienza e la pratica ne son diventato padrone.

A dir la verità quando ho aperto il topic ero abbastanza sicuro che quel che avevo scritto era giusto, ma siccome fin ora avevo affrontato solo domini in cui dell'arcsen/arccos dovevo studiarne l'argomento e basta, senza considerare altro, in questo esercizio avevo un po di perplessità che, ragionando, sono riuscito a togliermi, ma avevo bisogno di una conferma esterna da qualcuno più pratico e bravo di me.

Grazie infinite 3m0o, le tue risposte (e di pochi altri) sono sempre cristalline, spiegate bene per filo e per segno (che per un neofita come me anche i più piccoli dettagli sono vitali); inoltre sei sempre super disponibile ! Grazie ancora !

P.S. Sei per caso un professore o insegnante di matematica? Da quel che leggo sei ferratissimo aahaaahahah

[3m0o]

Detto sinceramente so quel che faccio quando imposto un sistema e lo svolgo, con l'esperienza e la pratica ne son diventato padrone.

A dir la verità quando ho aperto il topic ero abbastanza sicuro che quel che avevo scritto era giusto, ma siccome fin ora avevo affrontato solo domini in cui dell'arcsen/arccos dovevo studiarne l'argomento e basta, senza considerare altro, in questo esercizio avevo un po di perplessità che, ragionando, sono riuscito a togliermi, ma avevo bisogno di una conferma esterna da qualcuno più pratico e bravo di me.

No certo, non era mia intenzione insinuare il contrario, ma ho avuto semplicemente l'impressione, sbagliando dunque, che avessi le idee un po' confuse.

Grazie infinite 3m0o, le tue risposte (e di pochi altri) sono sempre cristalline, spiegate bene per filo e per segno (che per un neofita come me anche i più piccoli dettagli sono vitali); inoltre sei sempre super disponibile ! Grazie ancora !

P.S. Sei per caso un professore o insegnante di matematica? Da quel che leggo sei ferratissimo aahaaahahah

Cerco sempre di essere esaustivo nelle spiegazioni poiché qualcosa che per qualcuno risulta scontato per qualcuno d'altro non lo è, inoltre non sai quante volte basta solo un dettaglio in più per aprire gli occhi e far capire una cosa, che se tralasciato rimane oscuro, almeno a me è capitato diverse volte studiando matematica. Sbattendoci la testa per ore, poi arrivava qualcuno diceva una parola in più e si apriva un mondo!
Comunque no, sono ancora uno studente di matematica.

[Pemberton!]

Cerco sempre di essere esaustivo nelle spiegazioni poiché qualcosa che per qualcuno risulta scontato per qualcuno d'altro non lo è, inoltre non sai quante volte basta solo un dettaglio in più per aprire gli occhi e far capire una cosa, che se tralasciato rimane oscuro, almeno a me è capitato diverse volte studiando matematica. Sbattendoci la testa per ore, poi arrivava qualcuno diceva una parola in più e si apriva un mondo!
Comunque no, sono ancora uno studente di matematica.

Allora in bocca al lupo per il futuro, hai una passione bella forte per questa materia, si vede che hai scelto la strada giusta e son sicuro che ti aspettano grandi cose !