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Esercizio:

dimostrare utilizzando il teorema di Rolle che l'equazione $x^3-3x+4=0$ non ha più di una soluzione in $[-1,1]$.

Utilizzando il procedimento suggerito dal libro:

Ragionando per assurdo immagino che esistano due soluzioni $x_1$ e $x_2$ tali per cui $f(x_1)=f(x_2)=0$
Di conseguenza sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle e deve esistere $x_0$ tale che $f'(x_0)=0$

$f'(x) = 3x^2-3$

A questo punto come posso procedere?
L'esempio del libro arrivava ad una $f'(x)$ strettamente positiva e pertanto dimostrava in questo modo l'assurdita dell'assunto

Assumendo che \(f(x) = x^3 - 3\,x + 4\) sia tale che \(f(x_1) = f(x_2) = 0\), \(-1 \le x_1 < x_2 \le 1\), allora per il teorema di Rolle esiste almeno un \(x_0 \in (x_1,x_2)\) tale che \(f'(x_0)=0\). Ma \(f'(x) = 3\,x^2-3<0\) per ogni \(-1<x<1\), che è una contraddizione! Pertanto, \(f(x)\) potrà avere \(1\) oppure \(0\) soluzioni reali in \([-1,1]\).

Ti ringrazio!