Codominio vs Immagine

[Tipper]

Se invece ho
$f: RRtoRR$
$f(x)=sqrtx$
è giusto dire che come dominio e codominio ho $RR$, e come immagine e controimmagine ho $RR^+$ ?

Anche questa non è ben definita, perché $\sqrt{x}$ non ha senso se $x \in \mathbb{R}^-$.

[Steven]

Se invece ho
$f: RRtoRR$
$f(x)=sqrtx$
è giusto dire che come dominio e codominio ho $RR$, e come immagine e controimmagine ho $RR^+$ ?

Anche questa non è ben definita, perché $\sqrt{x}$ non ha senso se $x \in \mathbb{R}^-$.

Ok, scusa. Ho pensato che a questo punto anche il significato vero di "dominio" che ho è sbagliato, oltre a quello del codominio.
Ti chiedo se è legittimo restringere il dominio a piacimento, magari con una scrittura di questo tipo (esempio banale)
$f: [1,2]to RR$
$f(x)=2x$
la cui immagine è $Im=[2,4]$
E' corretto formalmente quel che dico?

A me subito sembravano due concetti confondibili, ma non è per niente vero. Un esercizio che aiuta molto a capire è il seguente ("del tipo" seguente): quante sono le funzioni di dominio ${1,2,3}$ e codominio ${1,2,3,4}$?

Posso dire che una di queste è
$f:{1,2,3} to {1,2,3,4}$
$f(x)=1$
?

ps: che differenza c'è tra la il normale "uguale" e la notazione che vedo su wikipedia con i "due punti" prima? $:=$

Di solito non chiedo spesso sul forum, scusate se in questi contesti mi scateno.
Grazie per la disponibilità.

[Martino]

A me subito sembravano due concetti confondibili, ma non è per niente vero. Un esercizio che aiuta molto a capire è il seguente ("del tipo" seguente): quante sono le funzioni di dominio ${1,2,3}$ e codominio ${1,2,3,4}$?

Posso dire che una di queste è
$f:{1,2,3} to {1,2,3,4}$
$f(x)=1$
?

Sì certo.

Ti scrivo per bene le definizioni. Mi fa piacere che sei interessato

Dati due insiemi $A$ e $B$, una "funzione di dominio $A$ e codominio $B$" è un sottoinsieme $f$ di $A times B$ tale che le seguenti due proprietà siano soddisfatte:

(FUNZ1) "se $x in A$ allora esiste $y in B$ tale che $(x,y) in f$".
(FUNZ2) "se $(x,y) in f$ e $(x,z) in f$ allora $y=z$".

Una funzione da $A$ a $B$ si indica con $f:A to B$, e se $(x,y) in f$ si scrive $y=f(x)$.

La proprietà (FUNZ1) serve a dirti che "ogni elemento di $A$ dev'essere mandato in qualcosa".
La proprietà (FUNZ2) serve esattamente a rendere sensata la posizione "$y=f(x)$". La proprietà (FUNZ2) dice esattamente che se $y=f(x)$ e $z=f(x)$ allora $y=z$ (con la notazione "y=f(x)" ciò è evidente, ma questa è notazione).

Naturalmente se prendi $A={1,2,3}$ e $B={1,2,3,4}$ puoi definire $f:A to B$, $f(x)=1$. Si tratta della funzione ${(1,1),(2,1),(3,1)} subseteq A times B$.

In particolare rimarca sottilmente che le nozioni di "dominio" e "codominio" stanno nella definizione di funzione! Quindi quando ti si dà una funzione ti si dà il dominio A, il codominio B e il particolare sottoinsieme di $A times B$ che la caratterizza. Quindi non ha senso chiedere quale sia il dominio o quale sia il codominio (come invece sempre viene fatto alle superiori). Bisognerebbe casomai richiedere quale sia il "dominio massimale" o "campo di esistenza" invece del dominio, e quale sia l'immagine invece del codominio. Il fatto è che alle superiori non ritengono molto importante distinguere bene questi concetti.

ps: che differenza c'è tra la il normale "uguale" e la notazione che vedo su wikipedia con i "due punti" prima? :=

Quando si mettono i due punti si intende che si sta definendo qualcosa. Per esempio: sia x il numero naturale definito da x:=1

[Tipper]

Ti chiedo se è legittimo restringere il dominio a piacimento, magari con una scrittura di questo tipo (esempio banale)
$f: [1,2]to RR$
$f(x)=2x$
la cui immagine è $Im=[2,4]$

Corretto. Diciamo che se tu definisci una funzione mediante un'espressione algebrica o analitica (chiamiamola $"espressione"(x)$) che coinvolge una variabile (reale), e se chiami campo di esistenza il più grande sottoinsieme (proprio o improprio) di $\mathbb{R}$ entro cui tale espressione non perde di significato, allora puoi definire una funzione $f: A \to \mathbb{R}$, che agisce come $f(x) = "espressione"(x)$, dove $A$ è un qualunque sottoinsieme (proprio o improprio) del campo di esistenza. Ovviamente, al variare $A$ troverai funzioni diverse, ma comunque tu scelga $A \subseteq "campo di esistenza"$, la funzione ottenuta sarà sempre ben definita. Non so se mi sono spiegato...

[Steven]

Non so se mi sono spiegato...

Certo, tutto chiaro.
Grazie.

Dati due insiemi $A$ e $B$, una "funzione di dominio $A$ e codominio $B$" è un sottoinsieme $f$ di $A times B$ tale che le seguenti due proprietà siano soddisfatte:

Sono andato a vedermi il prodotto cartesiano di insiemi, visto che non lo conoscevo.
Se non ho capito male, avendo due insiemi $A$ e $B$ risulta essere $A times B$ l'insieme di tutte le possibili coppie tra elementi di $A$ e elementi di $B$.
Se tipo io ho $A={1,2,3}$ e $B={a,b,c}$ allora $A times B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}$.
Ho letto poi che il prodotto cartesiano di insiemi non è commutativo, suppongo sia perché la coppia $(x_0,y_0)$ è diversa da $(y_0,x_0)$
Giusto fin qua?

Bisognerebbe casomai richiedere quale sia il "dominio massimale" o "campo di esistenza" invece del dominio

Approfitto per levarmi l'ultimo dubbio sull'ambiguità dei termini "definizione" e "esistenza".
L'esistenza è il dominio massimale, diciamo $D_1$
La definizione è il dominio che mi dà il testo, o che comunque scelgo io, e lo chiamo $D_2$.
Dico quindi che $D_2\subseteqD_1$ Se non mi si pongono restrizioni, i due insiemi coincidono.
Ma allora se ad esempio devi dire che la tangente non ammette come argomento $pi/2$ e relativa periodicità, non è più corretto affermare che la funzione non ESISTE per quei valori, piuttosto che non è DEFINITA?

Ultima cosa: se ho la funzione parte intera
$f(x)=\lfloorx\rfloor$
posso dire che
$f: RRtoRR$ perché rubandoti le parole dell'altro post, la funzione assume valori reali e produce valori reali.
Ma è anche vero che la funzione assume valori reali e produce valori razionali, ma questi valori sono pure interi.
Quindi potrei dire
$f: RRtoQQ$ e
$f: RRtoZZ$
Come ci si regola in questi casi, ci si tiene sul generico o si cerca di prendere un codominio scremato di valori che tanto non assumerà mai? (in tal caso che ne so, $sqrt2,5/2,e$)
ecc.

A presto, grazie ancora.
Ciao.

[Martino]

Dati due insiemi $A$ e $B$, una "funzione di dominio $A$ e codominio $B$" è un sottoinsieme $f$ di $A times B$ tale che le seguenti due proprietà siano soddisfatte:

Sono andato a vedermi il prodotto cartesiano di insiemi, visto che non lo conoscevo.
Se non ho capito male, avendo due insiemi $A$ e $B$ risulta essere $A times B$ l'insieme di tutte le possibili coppie tra elementi di $A$ e elementi di $B$.
Se tipo io ho $A={1,2,3}$ e $B={a,b,c}$ allora $A times B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}$.
Ho letto poi che il prodotto cartesiano di insiemi non è commutativo, suppongo sia perché la coppia $(x_0,y_0)$ è diversa da $(y_0,x_0)$
Giusto fin qua?

Certo. In particolare prova a rispondere alla seguente domanda (se ti piace): siano $A$ e $B$ due insiemi tali che $A times B = B times A$. Cosa si può dire allora su $A$ e $B$?

Bisognerebbe casomai richiedere quale sia il "dominio massimale" o "campo di esistenza" invece del dominio

Approfitto per levarmi l'ultimo dubbio sull'ambiguità dei termini "definizione" e "esistenza".
L'esistenza è il dominio massimale, diciamo $D_1$
La definizione è il dominio che mi dà il testo, o che comunque scelgo io, e lo chiamo $D_2$.
Dico quindi che $D_2\subseteqD_1$ Se non mi si pongono restrizioni, i due insiemi coincidono.
Ma allora se ad esempio devi dire che la tangente non ammette come argomento $pi/2$ e relativa periodicità, non è più corretto affermare che la funzione non ESISTE per quei valori, piuttosto che non è DEFINITA?

Non capisco molto bene quello che vuoi dire: la tangente non esiste in $pi/2$, e di conseguenza non è (non può essere) ivi definita. Ciò significa semplicemente che se definisci una funzione in cui ad un certo punto valuti la tangente di un elemento del dominio, allora il dominio non può contenere nessun valore del tipo $pi/2+k pi$.
Prova a leggere la prossima cosa che scriverò, forse ti dissiperà meglio questo dubbio.

Ultima cosa: se ho la funzione parte intera
$f(x)=\lfloorx\rfloor$
posso dire che
$f: RRtoRR$ perché rubandoti le parole dell'altro post, la funzione assume valori reali e produce valori reali.
Ma è anche vero che la funzione assume valori reali e produce valori razionali, ma questi valori sono pure interi.
Quindi potrei dire
$f: RRtoQQ$ e
$f: RRtoZZ$
Come ci si regola in questi casi, ci si tiene sul generico o si cerca di prendere un codominio scremato di valori che tanto non assumerà mai? (in tal caso che ne so, $sqrt2,5/2,e$)
ecc.

La chiave della faccenda è la seguente: le seguenti:

1) $f_1:RR to RR$, $x to lfloor x rfloor$
2) $f_2:RR to QQ$, $x to lfloor x rfloor$
3) $f_3:RR to ZZ$, $x to lfloor x rfloor$

sono tre funzioni diverse!
La "parte intera" non è ancora una funzione finché non dici quale sia il dominio e quale il codominio. Quindi capisci bene che non hai nessun obbligo sulla scelta del codominio, basta che il tutto abbia senso.

A mio avviso se vuoi capire veramente, devi smettere di pensare ad una funzione come ad una "formula" del tipo "$y=f(x)$", perché questa è solo una formula. Una funzione si compone di tre cose:

- dominio $A$,
- codominio $B$,
- sottoinsieme di $A times B$ che verifichi (FUNZ1) e (FUNZ2).

Spero di essermi spiegato

[Steven]

In particolare prova a rispondere alla seguente domanda (se ti piace): siano $A$ e $B$ due insiemi tali che $A times B = B times A$. Cosa si può dire allora su $A$ e $B$?

Con piacere.
All'inizio avrei detto che i due insiemi sono tali che qualsiasi elemento di $A$ è uguale a qualsiasi elemento di $B$, ovvero l'insieme $A$ contiene un tot di $x$ e l'insieme $B$ un altro tot di $x$, così le coppie erano in ugual numero e sempre e comunque $(x,x)$.
Poi ho pensato che va bene pure $A={x,y}$ e $B={x,y}$, due elementi diversi. Quindi serve che i due insiemi coincidano, in pratica.
Adesso non ho in mente altro.
Ve un po', a te la smentita/conferma.

La chiave della faccenda è la seguente: le seguenti:

1) $f_1:RR to RR$, $x to lfloor x rfloor$
2) $f_2:RR to QQ$, $x to lfloor x rfloor$
3) $f_3:RR to ZZ$, $x to lfloor x rfloor$

sono tre funzioni diverse!
La "parte intera" non è ancora una funzione finché non dici quale sia il dominio e quale il codominio. Quindi capisci bene che non hai nessun obbligo sulla scelta del codominio, basta che il tutto abbia senso.

A mio avviso se vuoi capire veramente, devi smettere di pensare ad una funzione come ad una "formula" del tipo "$y=f(x)$", perché questa è solo una formula. Una funzione si compone di tre cose:

- dominio $A$,
- codominio $B$,
- sottoinsieme di $A times B$ che verifichi (FUNZ1) e (FUNZ2).

Forse hai ragione, il mio difetto è che considero il codominio solo una caratteristica secondaria della funzione, non una parte costituente.
Insisto comunque su un punto, magari sto ricadendo nello stesso difetto, comunque ti dico: supponiamo che io abbia costruito queste tre funzioni (diverse, come tu hai detto) sopra.
Ma poi, effettivamente, detti $A_1$ e $B_1$ dominio e codominio della prima funzione, $A_2$ e $B_2$ per la seconda, (pedice 3 per la terza )posso o non posso dire che il sottoinsieme $f$ della definizione che mi hai portato è sempre lo stesso, sia che sia sottoinsieme di $A_1 \times B_1$, di $A_2\timesB_2$, o $A_3 times B_3$ ?
Spero di essere stato chiaro, altrimenti dimmelo.
ps: Martino, sei un matematico?

Mi chiedo pure se ha senso che mi faccia queste domande, visto che non ho un minimo di teoria alle spalle, tanto varrebbe aspettare un po' e studiare la cosa per bene all'università, invece di farmi queste conoscenze così, isolate e senza approfondimenti.
Io ho voglia, ma mi chiedo se è un po' inutile.

Comunque, io avevo chiesto anche al mio professore riguardo questa cosa, visto che è una persona molto disponibile. Premetto che è un fisico.
Gli ho riferito di queste cose che mi avete detto, ma lui ha detto che non trova alcuna utilità nel definire codominio e immagine diversi, che è una sottigliezza, lui ad esempio non ha mai avuto bisogno di differenziare le due cose. Gli ho detto tutto questo perché si era mostrato curioso di sapere cosa avrebbero detto le persone del forum dove sto.
Cosa devo dunque riferire?

Ciao!

[Martino]

Martino, sei un matematico?

Naturalmente no (faccio ancora l'università). Però queste cose sono facili (lo sono diventate!) e le ho elaborate molto (perché mi hanno ampliato la mente).

In particolare prova a rispondere alla seguente domanda (se ti piace): siano $A$ e $B$ due insiemi tali che $A times B = B times A$. Cosa si può dire allora su $A$ e $B$?

Con piacere.
All'inizio avrei detto che i due insiemi sono tali che qualsiasi elemento di $A$ è uguale a qualsiasi elemento di $B$, ovvero l'insieme $A$ contiene un tot di $x$ e l'insieme $B$ un altro tot di $x$, così le coppie erano in ugual numero e sempre e comunque $(x,x)$.
Poi ho pensato che va bene pure $A={x,y}$ e $B={x,y}$, due elementi diversi. Quindi serve che i due insiemi coincidano, in pratica.
Adesso non ho in mente altro.
Ve un po', a te la smentita/conferma.

Attento: l'insieme $\{x,x,x,x,x\}$ è uguale all'insieme $\{x\}$. In un insieme due elementi distinti sono veramente "distinti"
Detto questo, il caso da te contemplato in cui A=B fa parte della soluzione. L'altro caso è quello in cui uno tra A e B è vuoto: $emptyset times B = A times emptyset = emptyset$. Per mostrare che non ce ne sono altri ragioni così: supponiamo che $A$ e $B$ siano non vuoti, e sia $a \in A$. Se mostriamo che $a \in B$ allora per simmetria (e poiché ciò vale per ogni $a \in A$) avremo dimostrato che $A=B$. Detto $b in B$ (che esiste perché $B$ è non vuoto) hai che $(a,b) \in A \times B = B \times A$, e quindi $a in B$.

La chiave della faccenda è la seguente: le seguenti:

1) $f_1:RR to RR$, $x to lfloor x rfloor$
2) $f_2:RR to QQ$, $x to lfloor x rfloor$
3) $f_3:RR to ZZ$, $x to lfloor x rfloor$

sono tre funzioni diverse!
La "parte intera" non è ancora una funzione finché non dici quale sia il dominio e quale il codominio. Quindi capisci bene che non hai nessun obbligo sulla scelta del codominio, basta che il tutto abbia senso.

A mio avviso se vuoi capire veramente, devi smettere di pensare ad una funzione come ad una "formula" del tipo "$y=f(x)$", perché questa è solo una formula. Una funzione si compone di tre cose:

- dominio $A$,
- codominio $B$,
- sottoinsieme di $A times B$ che verifichi (FUNZ1) e (FUNZ2).

Forse hai ragione, il mio difetto è che considero il codominio solo una caratteristica secondaria della funzione, non una parte costituente.
Insisto comunque su un punto, magari sto ricadendo nello stesso difetto, comunque ti dico: supponiamo che io abbia costruito queste tre funzioni (diverse, come tu hai detto) sopra.
Ma poi, effettivamente, detti $A_1$ e $B_1$ dominio e codominio della prima funzione, $A_2$ e $B_2$ per la seconda, (pedice 3 per la terza )posso o non posso dire che il sottoinsieme $f$ della definizione che mi hai portato è sempre lo stesso, sia che sia sottoinsieme di $A_1 \times B_1$, di $A_2\timesB_2$, o $A_3 times B_3$ ?
Spero di essere stato chiaro, altrimenti dimmelo.

La questione è un minimo delicata. Tu puoi dire che le tre funzioni sono "insiemisticamente uguali" a patto di considerare $ZZ subset QQ subset RR$ e soprattutto $RR times ZZ subset RR times QQ subset RR times RR$.
Capisci quanto "costitutiva" è la nozione di codominio quando per esempio analizzi la definizione di "funzione suriettiva". Delle tre funzioni scritte sopra, solo $f_3$ è suriettiva.

Mi chiedo pure se ha senso che mi faccia queste domande, visto che non ho un minimo di teoria alle spalle, tanto varrebbe aspettare un po' e studiare la cosa per bene all'università, invece di farmi queste conoscenze così, isolate e senza approfondimenti.
Io ho voglia, ma mi chiedo se è un po' inutile.

In effetti, più che cercare di capire bene queste cose, ti consiglio di "ammirarle". Non è molto utile spenderci troppo tempo e potrebbe farti confusione.
Alle superiori non vengono elaborati tutti questi concetti, e probabilmente un motivo c'è: nel trattare le basi dell'analisi non è di molta utilità introdurre troppi "deviatori dell'intuizione".

Comunque, io avevo chiesto anche al mio professore riguardo questa cosa, visto che è una persona molto disponibile. Premetto che è un fisico.
Gli ho riferito di queste cose che mi avete detto, ma lui ha detto che non trova alcuna utilità nel definire codominio e immagine diversi, che è una sottigliezza, lui ad esempio non ha mai avuto bisogno di differenziare le due cose. Gli ho detto tutto questo perché si era mostrato curioso di sapere cosa avrebbero detto le persone del forum dove sto.
Cosa devo dunque riferire?

Guarda, premetto che tra uno che studia matematica e uno che studia fisica c'è (si forma) una differenza di pensiero logico-formale davvero abbastanza elevata. Capisco perfettamente che per un fisico distinguere codominio e immagine è cervellotico e inutile, naturalmente lo rispetto in tutto e per tutto. Capisco anche benissimo che per me non distinguerli sarebbe impossibile, come ad un fisico risulta impossibile che un oggetto si metta a cadere verso l'alto
Pensa che nei corsi che seguo spessissimo quando si vuole riferirsi ad una certa funzione si dice quali sono dominio e codominio, e non si dà la descrizione esplicita della funzione, come ad indicare che si tratta della funzione "ovvia", "canonica". Per esempio se scrivono $ZZ to QQ$ intendono che è la funzione che manda ogni intero nel suo corrispondente (diciamo "lui fratto uno") in $QQ$ (è una sorta di "inclusione", vedi?). Potrei farti altri esempi, ma potrei di nuovo andare troppo lontano.

Comunque prima di riferire al tuo prof quello che ti ho detto (che resta comunque la mia opinione) senti altre voci nel coro

[Steven]

Naturalmente no (faccio ancora l'università).

Ho capito. Matematica?

Attento: l'insieme $\{x,x,x,x,x\}$ è uguale all'insieme $\{x\}$.

Ah ok, non lo sapevo. Apprezzo quindi il consiglio:

In effetti, più che cercare di capire bene queste cose, ti consiglio di "ammirarle". Non è molto utile spenderci troppo tempo e potrebbe farti confusione.

Per mostrare che non ce ne sono altri ragioni così: supponiamo che $A$ e $B$ siano non vuoti, e sia $a \in A$. Se mostriamo che $a \in B$ allora per simmetria (e poiché ciò vale per ogni $a \in A$) avremo dimostrato che $A=B$. Detto $b in B$ (che esiste perché $B$ è non vuoto) hai che $(a,b) \in A \times B = B \times A$, e quindi $a in B$.

Capito.

Potrei farti altri esempi, ma potrei di nuovo andare troppo lontano.

Certo certo, rimandiamo a quando potrò capirci qualcosa in più.

Aspettiamo altre opinioni per la questione del professore.
Comunque sia grazie mille per la disponibilità. A presto!

[Martino]

Naturalmente no (faccio ancora l'università).

Ho capito. Matematica?

Naturalmente

Comunque sia grazie mille per la disponibilità. A presto!

E' stato un piacere