Proprietà ottica dell'ellisse
Inviato: 21/07/2008, 02:40
Quanto segue viene direttamente dal testo "Le Olimpiadi della Matematica" della Zanichelli.
Quello che non mi convince è la frase segnata in grasseto: il testo parte che vuole provare l'implicazione "retta tangente => angoli uguali", ma nello sviluppo della dimostrazione prova il contrario, cioè "angoli uguali => retta tangente", infatti nega che $t$ sia tangente supponendo l'esistenza della seconda intersezione $Q$ e afferma per ipotesi l'uguaglianza tra gli angoli (parte in corsivo nella citazione). Quindi io mi domando: dov'è che ha dimostrato che "retta tangente => angoli uguali", tanto da sparalo alla fine della dimostrazione? O sono io che non ho capito na mazza?
Grazie
Iniziamo col dimostrare la seguente proprietà ottica dell'ellisse. Per ogni punto $P$ di una ellisse di fuochi $F_1 , F_2$ la retta tangente in $P$ forma angoli uguali con i segmenti $F_1 P$ e $F_2P$.
Sia infatti $b$ la bisettrice di $\hat{F_1 P F_2}$ e sia $t$ la sua perpendicolare in $P$. Se $t$ avesse un ulteriore intersezione $Q$ con l'ellisse si consideri il simmetrico $F'$ di $F_2$ rispetto a $t$; poiché i due triangoli $PF_2 Q$, $PF' Q$ hanno i tre lati uguali (la retta $t$ è asse di $F_2 F'$) essi sono uguali e quindi $\hat{QPF'}=\hat{QPF_2}$, il quale per ipotesi è uguale a $\hat{F_1 P t}$. Ne segue che i punti $F_1, P, F'$ sono allineati e quindi per la disuguaglianza triangolare si avrebbe
$F_1 Q + QF_2 = F_1Q + QF' > F_1 P + PF'= F_1 P + PF_2$
mentre, essendo $P$ e $Q$ punti dell'ellisse, si ha
$F_1 Q + QF_2 = F_1 P + PF_2$.
Abbiamo così provato che la retta $t$ ha un unico punto in comune con l'ellisse, quindi ne è la tangente in $P$ ed essa forma angoli uguali con le rette che congiungono $P$ con i fuochi
Quello che non mi convince è la frase segnata in grasseto: il testo parte che vuole provare l'implicazione "retta tangente => angoli uguali", ma nello sviluppo della dimostrazione prova il contrario, cioè "angoli uguali => retta tangente", infatti nega che $t$ sia tangente supponendo l'esistenza della seconda intersezione $Q$ e afferma per ipotesi l'uguaglianza tra gli angoli (parte in corsivo nella citazione). Quindi io mi domando: dov'è che ha dimostrato che "retta tangente => angoli uguali", tanto da sparalo alla fine della dimostrazione? O sono io che non ho capito na mazza?
Grazie