Dimostrazioni di geometria

[ale_merlino3000]

Sapreste risolvere queste dimostrazioni di geometria???
non sono difficili ma... strane...

1- Dimostrare che i punti medi dei lati di un quadrilatero qualunque sono vertici di un parallelogramma. In quale caso esso è quadrato, rombo e poi rettangolo.

2- Dimostrare che la perpendicolare alla base di un triangolo isoscele, condotta dal punto medio di uno dei lati congruenti, divide la base in due parti delle quali una è tripla dell'altra.

3- Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi delle diagonali di un trapezio è congruente alla semidifferenza delle basi.

Concludo dicendo che non è una sfida, ma una richiesta d'aiuto!!!!


GRAZIE

Alessandro

[fireball]

N. 1

Disegna un quadrilatero irregolare e prendi i punti medi di ogni lato. Congiungi un punto medio al punto medio del lato opposto, poi costruisci il parallelogramma congiungendo tutti i punti medi tra loro; noterai che si generano 2 triangoli, congruenti perché hanno un lato in comune ed angoli congruenti perché alterni interni (un disegno ti renderebbe molto più chiara la dimostrazione). Visto che i 2 triangoli sono congruenti, di conseguenza le diagonali del parallelogramma sono uguali e si dividono scambievolmente a metà; i lati sono paralleli a due a due; ecco dimostrato.

Il quadrilatero risulta essere un rombo quando è inscritto in un rettangolo: infatti se congiungi i punti medi dei lati del rettangolo, otterrai i 4 triangoli rettangoli congruenti che compongono il rombo. Ottieni anche la diagonale maggiore e quella minore.

È un quadrato soltanto quando è inscritto in un altro quadrato: infatti, prendendo i punti medi di ogni lato e congiungendoli, otterrai un nuovo quadrato. Puoi ripetere la procedura anche con questo nuovo quadrato e ottenere infiniti quadrati.

È un rettangolo se è inscritto in un rombo (il procedimento è l'inverso del precedente): prendi i punti medi dei lati del rombo e congiungili, otterrai così i 2 triangoli rettangoli congruenti che formano il rettangolo.


N. 2

Non capisco: come fa ad essere il segmento condotto dal punto medio di un lato del triangolo isoscele perpendicolare alla base? La perpendicolare alla base si può condurre solo dal vertice che unisce i lati congruenti, ed è anche mediana relativa alla base e bisettrice dell'angolo al vertice.




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Modificato da - fireball il 25/06/2003 20:06:31

[tony]

dice fireball:
"N. 2
Non capisco: come fa ad essere il segmento condotto dal punto medio di un lato del triangolo isoscele perpendicolare alla base? La perpendicolare alla base si può condurre solo dal vertice che unisce i lati congruenti, ed è anche mediana relativa alla base e bisettrice dell'angolo al vertice."

eppure dicono che di perpendicolari alla base ce ne siano parecchie, anzi moltissime ...

[fireball]

Avevo inteso male il problema: credevo infatti che il segmento che unisce i punti medi del lato e della base fosse perpendicolare alla base! Per questo ero perplesso!

Comunque gli altri 2 li lascio a goblyn o a tony (in fondo anch'io sono un po' "scaricabarile"... scusatemi!).

Almeno io penso che il secondo si risolva con le proporzioni tra lati omologhi.

CIAO A TUTTI!

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Modificato da - fireball il 26/06/2003 19:30:50

[goblyn]

...appena ho tempo... nel frattempo tony...<img src=icon_smile_big.gif border=0 align=middle>

[fireball]

Va bene, allora immagino che toccherà farlo a me...

N. 2

Considerato il triangolo isoscele ABC, dove C è il vertice sopra la base, chiamiamo CH l'altezza, M il punto medio del lato BC, N il punto in cui il segmento condotto da M interseca perpendicolarmente la base.
Si nota subito che i due triangoli CHB e MNB sono simili perché hanno un lato in comune e angoli corrispondenti congruenti. Mettiamo in proporzione i loro lati omologhi:

CH:BC=MN:BM

ma al posto di BM, possiamo scrivere BC/2, perché il lato obliquo è diviso dal punto medio.

Dalla proporzione si ricava che è MN = 1/2 CH

Detto questo, siccome è BM = 1/2 BC e MN = 1/2 CH, sarà anche NB = 1/2 HB e puoi allora concludere che tutti i lati del triangolo MNB misurano la metà di quelli del triangolo CHB.

Nel problema si vuole dimostrare che è AN=3NB

Dunque, NB vale 1/2 HB (dove HB è mezza base) per i motivi detti sopra. Ma se vale 1/2 HB, varrà 1/4 AB (dove AB è la base).

Allora possiamo scrivere:

AN = AB - 1/4 AB, da cui AN = 3/4 AB

Per concludere, AN = 3/4 AB e NB = 1/4 AB.

Ecco dimostrato.

Cerca di aiutarti con un disegno se non ti è chiaro.

Per il terzo non credo ci siano metodi di geometria elementare, meglio riferire la figura ad un piano cartesiano...

Vai goblyn!

CIAO!

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Modificato da - fireball il 27/06/2003 10:39:43

[goblyn]

Eccomi qua! grazie fire... ora tocca a me!

3)

Prendiamo un sistema di riferimento cartesiano con l'origine coincidente col vertice sinistro della base maggiore (A). Sia inoltre l'asse x passante per l'altro estremo della base maggiore (B). Allora potremo scrivere i quattro vertici del trapezio (A, B, C e D) così:

A ( 0 ; 0 )

B ( a ; 0 )

C ( b ; c )

D ( d ; c )

Chiamiamo P il punto medio di AC e K il punto medio di BD.

Le coordinate di P sono:

P ( b/2 ; c/2 )

Quelle di K sono:

K ( (a+d)/2 ; c/2 )

Quindi P e K hanno la stessa ordinata. La loro distanza è semplicemente la differenza delle ascisse:

PK = ( a + d - b ) / 2 = ( a - (b-d) ) / 2

Ma notiamo che le due basi misurano:

AB = a
CD = b-d

Quindi PK = (AB-CD)/2

cvd

goblyn

[fireball]

E bravo goblyn! Il meglio, come al solito!

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