Problema

[luisa]

Verificare analiticamente che le funzioni y = x*log x + x*sin x e y = x*ln x + x*cos x risultano tangenti tra loro e determinare le coordinate del punto di tangenza. Quanto vale l'area del trapezoide formato dal punto A di tangenza, da B in cui la prima curva incontra ulteriormente l'asse x e da C, punto di coordinate positive in cui si secano le due curve?

Grazie
luisa



Modificato da - luisa il 02/07/2003 17:14:23

[goblyn]

Cominciamo a trovare l'intersezione/i tre le due curve:

x*log(x) + x*sin(x) = x*log(x) + x*cos(x)

x*sin(x) = x*cos(x)

x(sin(x)-cos(x))=0

x=0 è soluzione.

Supponendo x diverso da 0:

sin(x)=cos(x)

sin(x)=sin(pi/2-x)

x = pi/2 - x + 2pi*n

con n intero. Proseguiamo:

2x = pi/2 + 2pi*n

x = pi/4 + pi*n

Quindi le intersezioni sono nei punti x=pi/4+pi*n e x=0.

Calcoliamo le derivate delle due funzioni (sia D l'operatore di derivazione):

y'= D(x*log(x)) + sin(x) + x*cos(x)

y'= D(x*log(x)) + cos(x) - x*sin(x)

Notiamo che in x=0 le due derivate sono diverse.
Ugualgiamo le due derivate:

sin(x)-cos(x) = -x ( sin(x) + cos(x) )

Ora, nei punti d'intersezione diversi da 0, risulta sin(x)=cos(x) e quindi l'ultima uguaglianza diverrebbe:

0 = -2 sin(x)

che è impossibile se x = pi/4 + pi*n.

Quindi non ci sono punti di tangenza...



Modificato da - goblyn il 02/07/2003 20:03:39

[luisa]

Eppure, disegnando le due curve graficamente, si nota la tangenza... Strano!

Preciso poi che log x sta per ln x / ln 10 , quindi per log si intende logaritmo in base 10, mentre per ln si intende sempre logaritmo naturale, in base e.

luisa


Modificato da - luisa il 02/07/2003 22:09:02

[goblyn]

Io ho inteso entrambi i logaritmi naturali. In genere il logaritmo in base 10 lo si indica con Log, mentre log è riservato a quello naturale!
Cmq, ricominciamo coi conti...:

Intanto premetto che nel post precedente ho detto una cacchiata. x=0 è soluzione non accettabile perché non fa parte del dominio. Però il limite delle due funzioni per x che tende a 0 da destra è 0. Quindi almeno geometricamente si può parlare di punto di tangenza in x=0, sempreché le derivate (o meglio, i limiti delle derivate) siano uguali.

Derivate:

y' = [1+ln(x)]Log(e) + sin(x) + x*cos(x)

y' = [1+ln(x)] + cos(x) - x*sin(x)

Il limite per x che tende a 0 da destra è -infinito per entrambe.

Le due curve hanno tangente verticale in x=0, sono quindi tangenti tra di loro. Il punto di tangenza è (0,0).

Intersezione tra le due curve:

x*(Log(x)+sin(x))=x*(ln(x)+cos(x))

Supponiamo x diverso da 0:

[1-Log(e)]*ln(x)=-cos(x)+sin(x)

questa si risolve numericamente o graficamente... risulta C(0.5236;0.1147) circa.

Il punto B è dato da:

Log(x)=-sin(x)

Ancora graficamente si trova B (0.404;0).

In definitiva:

A (0;0)

B (0.404;0)

C (0.5236;0.1147)

Dopodiché non capisco bene come è fatta la figura di cui calcolare l'area...

[luisa]

L'area è un trapezoide di tre vertici (quelli che hai trovato).

[goblyn]

ciao Luisa

Intendo il trapezoide composto dal segmento AC e dal tratto CA della prima curva (ma sarà proprio così?):


Cominciamo a procurarci le due primitive:

F1 = (x^2)/4*[2*Log(x)-Log(e)] - x*cos(x) + sin(x)

F2 = (x^2)/4*[2*ln(x)-1] + x*sin(x) + cos(x)

Osservando la figura e utilizzando le primitive per calcolare le aree:

Area = - [F1(0.404)-F1(0)] + 0.5236*0.1147/2-[F1(0.5236)-F1(0.404)]=
= 0.0518

Le prime parentesi quadre contengono l'area sotto l'asse delle x, il secondo addendo è il triangolo rettangolo di ipotenusa AC e con un cateto sull'asse x, l'ultimo pezzo è l'area che va sottratta al triangolo. F1(x) tende a 0 per x che tende a 0 e quindi ho posto F1(0)=0.

goblyn



Modificato da - goblyn il 03/07/2003 10:55:58

[luisa]

Grazie davvero di cuore goblyn, il problema continua: preferivo suddividerlo in modo da non farti occupare troppo spazio nel topic.

Si determini il rapporto che sussiste tra l'area del trapezoide e quella dei rettangoloidi formati dalle funzioni circolari sin(x) e cos(x) e si provi che l'area dei triangoli mistilinei, sempre individuati da queste ultime, vale circa 1/3 di quella dei rettangoloidi.

[goblyn]

Spero di aver individuato bene le figure... non è che sono molto sicuro... comunque:

rettangoloidi:

Area = 2* [ INT[pi/4,pi] (sin(x)dx) - INT[pi/4,pi/2] (cos(x)dx) ] =

= 2*sqrt(2)

triangoli:

Area = 2* INT[0:pi/4] (sin(x)dx) = 2-sqrt(2)

Il rapporto è quindi: (2-sqrt(2))/(2sqrt(2))=0.414 che non è proprio un terzo... Ci vorrebbe una bella figura per capire bene quali sono le figure in gioco!