Rette sghembe

[Romeo]

Durante la correzione del compito di matematica (maturità scientifica 2003) mi è stata contestata la seguente definizione di rette sghembe:
"Si definiscono rette sghembe, rette che stanno su piani diversi".
Secondo il mio prof. avrei dovuto completare dicendo che i piani oltre che diversi fossero paralleli.
Capisco che non è la definizione più rigorosa che sarebbe: "2 rette sono sghembe se non complanari"; ma secondo me la definizione che ho dato non è sbagliata come potrebbe sembrare a prima vista.
Che ne dite?
Ciao a presto Romeo.

[goblyn]

In effetti... esiste senz'altro un piano che contiene due rette che s'incontrano. Ma ci sono anche due piani diversi sui quali stanno rispettivamente la prima e la seconda retta separatamente. Quindi la tua definizione comprende tutte le rette, non solo quelle sghembe! Che palle quando hanno ragione i prof... <img src=icon_smile_evil.gif border=0 align=middle>

[Romeo]

Goblyn quello che hai detto è giusto. <img src=icon_smile.gif border=0 align=middle>
Però quello mi chiedo: "se due rette stanno sullo stesso piano è possibile dire che stanno anche su piani diversi?"
Secondo me se si ammette tale possibilità si potrebbe affermare che due rette sono allo stesso tempo complanari (che stanno sullo stesso piano) e non complanari (quando le vedo su piani diversi).
Si crea quindi un paradosso di complanarità e non complanarità simultanea.
Inoltre 2 rette parallele (sono 2 rette complanari che non si toccano); ma allo stesso modo io posso trovare 2 piani diversi che contengono le due rette. Quindi in questo caso sono portato ad affermare che le rette non sono più complanari e quindi non sono parallele. <img src=icon_smile_shock.gif border=0 align=middle>

[goblyn]

Due rette sono complanari se <font color=red>esiste</font id=red> un piano che le contiene entrambe. Del resto per ogni retta passano infiniti piani...
Quindi è sempre possibile trovare due piani che contengano separatamente le due rette!

Non c'è quindi paradosso

[Romeo]

Secondo me non è "lecito" dire che se due rette stanno su
piani diversi e stanno sullo stesso piano sono complanari perché, esempio:

Io dico che se un corpo ha la caratteristica "A" allora è azzurro (leggasi: se le rette giacciono sullo stesso piano sono complanari).

Se il corpo ha la caratteristica "A" + la caratteristica "B", posso dire che il corpo è azzurro? (leggasi se le rette giacciono sullo stesso piano ma anche su piani diversi posso dire che sono solo complanari?)

Secondo me la risposta è negativa, perché azzurro è il corpo che ha la
proprietà "A", non la proprietà "A" + la proprietà "B".
Perchè nel caso delle rette parallele si va alla ricerca di un piano che le contiene entrambe (in tale forma di ragionamento è sottointeso un rapporto di reciprocità fra le due rette), e nel caso delle rette sghembe si può prendere un piano qualsiasi per ciascuna retta e fermarsi? (ragionando come se il sistema fosse 1 + 1 e ignorando il rapporto di reciprocità che esiste fra le 2 rette)?
Le rette sghembe sono le uniche rette che stanno su piani diversi e non troverò mai un piano che le contenga entrambe.
Tutte le altre rette (parallele o incidenti) sono complanari e solo una scelta arbitraria dimostra che stanno su piani diversi; infatti per far questo ragioni prima sulla retta 1 e poi sulla retta 2.
Quindi definire le rette incidenti o parallele come rette che stanno su piani diversi è secondo me una interpretazione forzata, ossia soggettiva e non oggettiva. Invece le rette sghembe sono oggettivamente su piani diversi, indipendentemente dalla scelta arbitraria dei piani.
Ecco perchè ancora rimango dell'idea che la definizione data da me, può essere giusta, anche se ammetto che non è la più elegante.<img src=icon_smile.gif border=0 align=middle>

[goblyn]

Siano date due rette r e s:

proprietà A: esiste un piano che contiene r e s

DEFINIZIONE:
Se è verificata la proprietà A allora r e s si dicono complanari

Poi puoi attribuire tutte le proprietà che vuoi a r e s, ma la proprietà A non la togli. La proprietà richiede che esista un piano che contenga le due rette, non impone nessun altro vincolo!

Per verificare che due rette siano sghembe: si considerano gli infiniti piani che contengono r. Se uno fra questi contiene anche s allora non sono sghembe. Se non esiste neanche un piano che le contenga entrambe allora sono sghembe. In che senso dici che "ci si ferma lì"?

La tua definizione (nel primo post) non può essere corretta perché comprende TUTTE le rette. Quindi non è la definizione di rette sghembe.

[Romeo]

Vediamo se così riesco ad esprimere meglio cosa intendo!
Perchè a volte mi ci incarto anche io <img src=icon_smile.gif border=0 align=middle> su quello che scrivo.

Le rette possono essere incidenti, parallele o sghembe e fino a qui tutto ok.
Rovesciamo la situazione:
Quali sono le rette che stanno su piani diversi?
Non sono le rette incidenti perché stanno su piani diversi (interpretazione soggettiva) ma anche sullo stesso piano (interpretazione oggettiva matematica).
Quindi le rette incidenti non verificano la condizione "stare su piani diversi", perchè io posso trovare un piano che le contiene entrambe; e quindi non verificano sempre la proprietà di stare su piani diversi.
Non sono le rette parallele perché stanno su piani diversi ma anche sullo stesso piano (come sopra).
Sono solo le rette sghembe che stanno solamente su piani diversi e quindi non riesco ad individuare un piano che le contenga entrambe.<img src=icon_smile.gif border=0 align=middle>

Dov'è il punto debole in questa mia logica?

[goblyn]

Il punto debole è nell'interpretazione sbagliata che dai alla frase:
"stare su piani diversi".

Se due rette sono incidenti esistono due piani distiniti che le contengono separatamente. E ne esiste anche uno che le contiene entrambe. Le due rette stanno su due piani diversi e anche sullo stesso piano. Non c'è contraddizione perché i tre piani di cui parlo sono tutti distinti tra di loro!

Non ti fare ingannare dalle parole.

Sarebbe falsa la frase: "due rette incidenti stanno solo ed esclusivamente su piani distinti". Questa sì che è falsa!

goblyn

[Romeo]

Quindi per te le rette parallele stanno su piani diversi (perché sono incluse nella mia definizione che non identifica unicamente le rette sghembe).
Quando allora trovo il piano che le contiene entrambe cosa dico?
Che non sono rette parallele perché non stanno su piani diversi!
La conseguenza mi sembra logica ma è assurda perché l’ipotesi iniziale è errata, ossia voler identificare le rette parallele come quella categoria di rette che stanno su piani diversi.

Dire "le 2 rette stanno su piani diversi" non è sufficiente per caratterizzare le rette parallele (hanno altre qualità), non è sufficiente per caratterizzare le rette incidenti (hanno altre qualità) è sufficiente solo per caratterizzare le rette sghembe (che hanno la sola qualità di stare su piani diversi).

PS: vediamo di mettere almeno un punto fermo.
"Due rette sono sghembe se stanno solo su piani diversi".
Questa va bene?
Poi continuo a discutere sul fatto che il solo sia superfluo oppure no
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Modificato da - Romeo il 11/07/2003 18:34:50

[goblyn]

Poiché esistono due piani diversi che contengono rette parallele, l'affermazione "due rette parallele stanno su piani diversi" è vera. Non c'è ambiguità.

La tua ultima definizione è corretta. Il "solo" è indispensabile.