Dai fire non esagerare...
Manu, leggendo, verifica i risultati sul grafico di fire
DOMINIO:
Bisogna che il denominatore sia diverso da 0:
x^2 + 6x + 5 = 0
x = -3 +- sqrt(9-5)
che dà come radici -5 e -1.
Quindi il dominio è x diverso da -5 e diverso da -1.
SEGNO:
Num>0 ==> x>-4
Den>0 ==> x<-5 vel x>-1 (il den è una parabola rivolta verso l'alto...)
Quindi, facendo la tabellina dei segni, otteniamo che la funzione è positiva se
-5<x<-4 vel x>-1
Per x=-4 la funzione è nulla.
LIMITI
lim[x-->-inf]=0
lim[x-->+inf]=0
perché il den ha grado maggiore del den.
y=0 è quindi asintoto orizzontale
I limiti per x che tende a -5 e -1 sono infiniti perché il den va a 0. In particolare i limiti sx sono -inf e i limiti destri sono +inf.
x=-5 e x=-1 sono quindi asintoti verticali
DERIVATA
y'= [ x^2+6x+5 - (x+4)(2x+6) ] / (den^2) =
= [-x^2-8x-19]/(den^2)
Il dominio della derivata è lo stesso di quello della funzione, quindi non ci sono punti angolosi.
La derivata è positiva quando lo è il numeratore (perché il denominatore è positivo essendo un quadrato):
-x^2-8x-19>0
x^2+8x+19<0
essendo il delta <0 questa rappresenta una parabola sempre positiva. L'ultima disequazione non è mai verificata e quindi la derivata è sempre negativa. La funzione è sempre decrescente, per ogni x appartenente al dominio.
La derivata seconda vale (ometto i conti):
y''=(x^3+12x^2+57x+94)/(den^3)
si annulla per x = -3.36 circa dove c'è un flesso.