tangenza ad ellisse

[Tommy]

Spero qulacuno possa aiutarmi a risolvere questo problema...

data un'ellisse generica (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 e un punto P di cordinate (X0;Y0) dimostrare che la formula della retta tangente all'ellisse è (X0x/a^2)+(Y0y/b^2)=1


metto a sistema l'ellisse generica e la retta passante per P con m generico y-Y0=m(x-X0)

svolgendo un bel pò di calcoli e ponendo che il discriminante delle ascisse sia uguale a zero (ho isolato le ordinate) arrivo ad avere l'equazione con come incognita m che recita:

m^2(a^2-X0^2)+2mX0Y0+b^2-Y0^2=0

cercando il discriminante di questa equazione mi sono accorto chè è uguale a zero in quanto la somma algebrica del discriminante risolvendo è: -(a^2)(b^2)+(a^2)(Y0^2)+(b^2)(X0^2) che è l'equazione dell'ellisse...portando tutto a primo membro e risolvendo il mcd infatti l'espressione è come il discriminante...quindi ho due soluzioni coincidenti di m: m=(-X0Y0)/(a^2-X0^2)... che dovrei sostituire nella retta generica passante per P quella del sistema...ma b^2 non c'è l'ho più e non so come farlo saltare nella tesi, l'equazione della retta tangente...alla quale non riesco ad arrivare..grazie comunque ciao tommaso

[vecchio]

emmm...scusa Tommy ma non credo di aver capito bene il testo del problema...il punto P appartiene all'ellisse o è un punto qualunque del piano? poi dalla soluzione che proponi credo di capire che la retta tangente deve passare per il punto P, giusto? ma la domanda che mi pongo è questa: se il punto P non appartiene all'ellisse, allora avrò due punti di tangenza, quindi due rette differenti e quindi di equazioni diverse...
per questo credo che il punto P debba appartenere all'ellisse!

fammi sapere, intanto io penso a quest'ultimo caso...quello in cui P appartiene alla curva...

ciao
il vecchio

[Tommy]

Scusa mi sono spiegato male, il punto P appartiene all'ellisse..difatti il discriminante del coefficiente angolare della retta tangente è uguale a zero dando due soluzioni coincidenti..

è la dimostrazione analitica di un'equazione importante..so che l'impostazione e il modo di procedere è esatto, ma non riesco a venirne a capo nelle conclusioni..ogni aiuto è davvero gradito

ciao tommy

[Admin]

Devi aggiungere la condizione che il punto P appartenza all'ellisse:
xo^2/a^2+yo^2/b^2=1
In particolare, da questa condizione ricavi che
a^2-x0^2=a^2y0^2/b^2
Con quest'ultima osservazione dovresti farcela.


Antonio Bernardo

[Tommy]

Si, mi ero dimenticato di sfruttare questa condizione..
Ora sono riuscito ad arrivare alla soluzione.

grazie a tutti
ciao

Tommaso