problema parabola

[bodo86]

Ciao,

ho un problema da svolgere un po difficile:

Si consideri la parabola y=x^2-2x+2 e la sua simmmetrica rispetto alla retta di eq. y=2.
Si scriva l'eq. della circonferenza inscritta della regione di piano delimitato dalle due curve e biitangente a esse.
Ho trovato la simmetrica che è y=-x^2+2x+2 ma non so come trovare la circonferenza.

Grazie in anticipo

Bodo86

[fireball]

Innanzitutto, ecco il grafico delle due parabole:

<img src="http://matfisinf.supereva.it/parabole.jpg" border=0>

Mettendo a sistema le equazioni da te trovate (e lo puoi verificare anche guardando il grafico), vedi che le due curve si intersecano in (0;2) e (2;2), cioè due punti simmetrici rispetto al punto (1;2). Dunque, proprio il punto (1;2) è il centro della circonferenza da te richiesta.
Quindi l'equazione risulta x^2+y^2-2x-4y+c=0 dove c è l'unico parametro ancora da trovare; per trovarlo devi impostare 2 sistemi composti ognuno da questa equazione e da una delle precedenti due equazioni delle parabole, poi per imporre che le curve siano tangenti poni <img src="http://matfisinf.supereva.it/image002.gif" border=0> e risolvi rispetto a c, ok? Spero di essermi spiegato bene, ma il fatto è che non ho tempo per scriverti numericamente tutti i passaggi in questo post...

Scusami!

ciao
fireball



Modificato da - fireball il 05/08/2003 19:44:39

[bodo86]

Ciao,
ci avevo pensato anche io però mi viene fuori un sistema di quarto grado che non sono in grado di risolvere , non so come fare!

Grazie lo stesso .

Bodo86

[vecchio]

Ciao bodo
Io il problema l’ho risolto così, basta partire dall’osservazione che faceva fireball a proposito del centro della circonferenza inscritta, ovvero che si trova proprio nel punto C(1;2) a questo punto non c’è bisogno di fare due sistemi composti, basta farne uno mettendo a sistema l’equazione di una delle due parabole, io ho preso quella rivolta verso l’alto, con l’equazione generica della circonferenza. Però credo che sia più conveniente scrivere l’equazione generica in questo modo:

(X-Xc)^2 + (Y-Yc)^2 = r^2 dove r è il raggio della circonferenza inscritta.

Sostituisci Xc con 1 e Yc con 2 e svolgi i calcoli, ottieni così l’equazione generica della circonferenza di centro C:

X^2 + Y^2 – 2X – 4Y – 5 – r^2 = 0

Io ho messo a sistema questa equazione con Y = X^2 – 2X + 2

Il sistema risolto da come risultato questa equazione di secondo grado: Y^2 – 3Y +3 – r^2 = 0
Ora come diceva anche fireball basta imporre il discriminante uguale a zero (la condizione di tangenza), ottieni dunque Δ = 9 – 4(3 – r^2 )= 0

Da cui ricavi che r^2 = 3/4;

ora basta considerare l’equazione generica della circonferenza che ti ho scritto prima e sostituire…
ottieni dunque:

(x – 1)^2 + (y –2)^2 = 3/4

svolgi i calcoli e ottieni l’equazione della circonferenza da te richiesta:

x^2 + y^2 – 2x – 4y + 17/4 = 0

salvo errori di calcolo dovrebbe essere giusto.. tu comunque controlla.

Ciao
Il vecchio
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[bodo86]

grazie mille vecchio !!

Bodo86