da vecchio » 07/08/2003, 13:32
Ciao bodo!! Sono sempre io, ..però carino il problema…se può esserti di consolazione io l’ho trovato più difficile dell’altro, però mi sono divertito a risolverlo…ho anche dovuto ricominciarlo da capo perché avevo sbagliato a mettere un segno!!!!!…capita….
Preparati perché la risoluzione è un po’ lunga…
Ci vorrebbe un grafico, ma io non sono capace a metterli nel topic…magari un giorno FIREBALL MI INSEGNERA’… ; ) … […questo era un messaggio subliminale per fireball… : ) ]
Cmq…immagina che io ti abbia disegnato il grafico, chiamiamo A il punto di tangenza tra la parabola e la retta di equazione y=x/2 e B il punto di tangenza con la retta y=x. Ok? In pratica il punto A è quello più a sinistra rispetto a B.
Ora suddividiamo il problema in punti, se no non si capisce più niente!!
1)troviamo le coordinate del punto B in funzione dei tre parametri a, b, c.
basta risolvere il sistema tra l’equazione della parabola (y=ax^2 + bx + c) e la retta y=x, imponendo il discriminante uguale a 0 (condizione di tangenza).
L’equazione risolvente il sistema è ax^2 + (b –1)x +c = 0
Se il discriminante è uguale a zero allora XB= (1-b)/2a
E saltando un po’ di conti…YB=[(1-b)(1+b) + 4ac]/4a
2)facciamo la stessa cosa per trovare le coordinate di A, stavolta mettiamo a sistema la parabola con la retta di equazione y=x/2.
L’equazione risolvente è ax^2 + (b – 1/2 )x – 4ac = 0
Anche stavolta imponiamo il discriminante uguale a zero (condizione di tangenza), per cui le coordinate del punto che otteniamo sono: (salto anche qui i conti per non appesantire ulteriormente la spiegazione)
XA = (1/2 – b)/2a
YA = [ (1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac]/4a
3)adesso prendiamo in considerazione l’altro dato che fornisce il problema, ovvero che I due punti A e B sono distanti 5/2, scriveremo dunque che dAB = 5/2.
Utilizzando la formula della distanza “punto-punto” possiamo determinare il coefficiente a.
(dAB)^2 = (XA – XB)^2 + (YA – YB)^2
sostituisci con le coordinate trovate ai punti 1 e 2 e ottieni questo:
…= [ (1/2 – b)/2a – (1-b)/2a ]^2 + [ (1/4 – b^2 + 4ac)/4a – (1-b^2+4ac)/4a]^2=…
fai un po’ di conti all’interno delle parentesi e ottieni:
…=[ (-1/2)/2a ]^2 + [ (-3/4)/4a ]^2= (-1/4a)^2 + (-3/16a)^2 = 1/(16a^2) + +9/(256a^2)= 25/256a^2=(5/16a)^2
dAB=5/2=5/16a
16a=2
a=1/8
4) ora determinare b è un po’ più complesso, comunque…anche qui è il caso di individuare tre sottoproblemi:
a) studiamo un attimo le coordinate del punto A trovate in precedenza nel punto 2.
Avevamo trovato che
XA = (1/2 – b)/2a
YA = [ (1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac]/4a
Poichè però il punto A appartiene anche alla retta di equazione y=x/2, allora YA=XA /2, ma allora
[ (1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac]/4a =(1/2 – b)/4a
I denominatori si semplificano e otteniamo
(1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac = 1/2 – b
sostituisci 1/8 ad a, come abbiamo trovato al punto 3 fai un po’ di conti e ottieni questo
b^2 – b – 1/2c +1/4 = 0 (*)
b) facciamo un ragionamento analogo per il punto B, le sue coordinate dal punto 1 sono:
XB= (1-b)/2a
YB=[(1-b)(1+b) + 4ac]/4a
Poichè il punto B appartiene anche alla rette di equazione y=x, allora YB=XB, ma allora…
[(1-b)(1+b) + 4ac]/4a = (1-b)/2a
[(1-b)(1+b) + 4ac]/2 = (1-b)
(1-b)(1+b) + 4ac = 2 (1-b)
anche qui sostituisci 1/8 ad a e fai i conti, ottenendo infine questo:
b^2 –2b +1 – 1/2c = 0 (**)
c) adesso confrontiamo le espressioni ottenute al punto a) e b)
b^2 –2b +1 – 1/2c = 0 (**)
b^2 – b – 1/2c +1/4 = 0 (*)
risolvi il sistema per differenza fino ad ottenere
- b +3/4 = 0
b = 3/4
5)per determinare c è sufficiente sostituire il valore di b ottenuto nell’espressione (**)
quindi si ottiene facendo i giusti conti, che non riporto,
c = 1/8
l’equazione della parabola richiesta risulta dunque essere
y = 1/8 x^2 + 3/4 x +1/8
è sicuramente giusto perchè poi ho fatto la verifica facendo il problema inverso, data la parabola e le rette i punti di tangenza distano esattamente 5/2 !!!!!!!
ciao
il vecchio
<font size=6></font id=size6><font size=5></font id=size5><font size=4></font id=size4><font size=3></font id=size3><font size=4></font id=size4><font size=5></font id=size5><font size=6></font id=size6><font color=red></font id=red><font color=yellow></font id=yellow><font color=pink></font id=pink><font color=green></font id=green><font color=pink></font id=pink><font color=yellow></font id=yellow><font color=red></font id=red>