Matematicamente.it

Inviato: **06/08/2003, 15:57**

Ciao,

ho un problema da porvi:

si determino i coefficienti dell'equazione y=ax^2+bx+c a>0 affinche la parabola da essa rappresentata sia tangente alle rette di equazione y=x e y=x/2 ed abbia la corda congiungente i punti di contatto di lunghezza 5/2.

Grazie in anticipo.

Bodo86

Inviato: **07/08/2003, 13:32**

Ciao bodo!! Sono sempre io, ..però carino il problema…se può esserti di consolazione io l’ho trovato più difficile dell’altro, però mi sono divertito a risolverlo…ho anche dovuto ricominciarlo da capo perché avevo sbagliato a mettere un segno!!!!!…capita….
Preparati perché la risoluzione è un po’ lunga…
Ci vorrebbe un grafico, ma io non sono capace a metterli nel topic…magari un giorno FIREBALL MI INSEGNERA’… ; ) … […questo era un messaggio subliminale per fireball… : ) ]

Cmq…immagina che io ti abbia disegnato il grafico, chiamiamo A il punto di tangenza tra la parabola e la retta di equazione y=x/2 e B il punto di tangenza con la retta y=x. Ok? In pratica il punto A è quello più a sinistra rispetto a B.

Ora suddividiamo il problema in punti, se no non si capisce più niente!!

1)troviamo le coordinate del punto B in funzione dei tre parametri a, b, c.

basta risolvere il sistema tra l’equazione della parabola (y=ax^2 + bx + c) e la retta y=x, imponendo il discriminante uguale a 0 (condizione di tangenza).

L’equazione risolvente il sistema è ax^2 + (b –1)x +c = 0

Se il discriminante è uguale a zero allora XB= (1-b)/2a

E saltando un po’ di conti…YB=[(1-b)(1+b) + 4ac]/4a

2)facciamo la stessa cosa per trovare le coordinate di A, stavolta mettiamo a sistema la parabola con la retta di equazione y=x/2.

L’equazione risolvente è ax^2 + (b – 1/2 )x – 4ac = 0

Anche stavolta imponiamo il discriminante uguale a zero (condizione di tangenza), per cui le coordinate del punto che otteniamo sono: (salto anche qui i conti per non appesantire ulteriormente la spiegazione)

XA = (1/2 – b)/2a
YA = [ (1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac]/4a

3)adesso prendiamo in considerazione l’altro dato che fornisce il problema, ovvero che I due punti A e B sono distanti 5/2, scriveremo dunque che dAB = 5/2.

Utilizzando la formula della distanza “punto-punto” possiamo determinare il coefficiente a.

(dAB)^2 = (XA – XB)^2 + (YA – YB)^2

sostituisci con le coordinate trovate ai punti 1 e 2 e ottieni questo:

…= [ (1/2 – b)/2a – (1-b)/2a ]^2 + [ (1/4 – b^2 + 4ac)/4a – (1-b^2+4ac)/4a]^2=…

fai un po’ di conti all’interno delle parentesi e ottieni:

…=[ (-1/2)/2a ]^2 + [ (-3/4)/4a ]^2= (-1/4a)^2 + (-3/16a)^2 = 1/(16a^2) + +9/(256a^2)= 25/256a^2=(5/16a)^2

dAB=5/2=5/16a
16a=2

a=1/8

4) ora determinare b è un po’ più complesso, comunque…anche qui è il caso di individuare tre sottoproblemi:
a) studiamo un attimo le coordinate del punto A trovate in precedenza nel punto 2.
Avevamo trovato che

XA = (1/2 – b)/2a
YA = [ (1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac]/4a

Poichè però il punto A appartiene anche alla retta di equazione y=x/2, allora YA=XA /2, ma allora

[ (1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac]/4a =(1/2 – b)/4a

I denominatori si semplificano e otteniamo

(1/2 – b) (1/2 + b) + 4ac = 1/2 – b

sostituisci 1/8 ad a, come abbiamo trovato al punto 3 fai un po’ di conti e ottieni questo

b^2 – b – 1/2c +1/4 = 0 (*)

b) facciamo un ragionamento analogo per il punto B, le sue coordinate dal punto 1 sono:

XB= (1-b)/2a
YB=[(1-b)(1+b) + 4ac]/4a

Poichè il punto B appartiene anche alla rette di equazione y=x, allora YB=XB, ma allora…

[(1-b)(1+b) + 4ac]/4a = (1-b)/2a

[(1-b)(1+b) + 4ac]/2 = (1-b)

(1-b)(1+b) + 4ac = 2 (1-b)

anche qui sostituisci 1/8 ad a e fai i conti, ottenendo infine questo:

b^2 –2b +1 – 1/2c = 0 (**)

c) adesso confrontiamo le espressioni ottenute al punto a) e b)

b^2 –2b +1 – 1/2c = 0 (**)

b^2 – b – 1/2c +1/4 = 0 (*)

risolvi il sistema per differenza fino ad ottenere

- b +3/4 = 0

b = 3/4

5)per determinare c è sufficiente sostituire il valore di b ottenuto nell’espressione (**)

quindi si ottiene facendo i giusti conti, che non riporto,

c = 1/8

l’equazione della parabola richiesta risulta dunque essere

y = 1/8 x^2 + 3/4 x +1/8

è sicuramente giusto perchè poi ho fatto la verifica facendo il problema inverso, data la parabola e le rette i punti di tangenza distano esattamente 5/2 !!!!!!!

ciao
il vecchio

Inviato: **07/08/2003, 19:33**

ciao vecchio,

mille grazie e complimenti ! ! ! ! ! ! ! ! !

Bodo86

Modificato da - bodo86 il 07/08/2003 20:35:30

Inviato: **07/08/2003, 22:52**

grazie a te!! così mi rinfresco un po' di matematica dell'anno scorso..e non fa male visto che il prossimo anno ho gli esami!!!!
e poi complimenti di che?? vedrai che se cominci a prenderla come un gioco ti divertirai pure tu!!...e poi sempre meglio che fare le versioni di latino...cosa che invece dovrei fare...!!!!

ciao
il vecchio

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