Ciao,
si consideri il punto A(-1;0) e la circonferenza C di centro B(1;0) e raggio r>2.
si determini il luogo del punto P appartenente al raggio BT, al variare di T sulla circonferenza, tale che sia PT=PA.
tale luogo è un ellisse di fuochi A e B.
Grazie
Ciao
Bodo86
Modificato da - bodo86 il 13/08/2003 22:20:01
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nuovo problema ! ! !
da bodo86 » 12/08/2003, 15:44
- bodo86
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- Iscritto il: 02/08/2002, 15:58
da vecchio » 14/08/2003, 13:00
…il vecchio colpisce ancora…
anche questa volta c’ho messo un po’ più tempo perché ho sbagliato i conti almeno cinque volte cmq…
come hai visto ho sempre il problema del disegno che non so come inserire dunque cerco di spiegarmi bene a parole..
ci sono due modi per affrontare la prima parte del problema, te li spiego entrambi ma il secondo è senza dubbio più matematico e…complesso…
cominciamo col primo…hai costruito la figura?bene…io ho chiamato, come diceva il testo, A(-1;0),B(1;0),
P(x;y) e T un punto a caso della circonferenza di centro B.
Ok?
ricordiamo che <b>r>2</b>
ora facciamo questo ragionamento:
<center>PA = PT (*)</center>
<center>per ipotesi..lo richiede il problema</center>
<center>PB = BT - PT</center>
<center>per costruzione</center>
<center>BT = r</center>
<center>perchè T per ipotesi è un punto della circonferenza e B ne è il centro</center>
<center>PB = r - PT</center>
<center>PT = r - PB</center>
<center>poi considerando il punto (*)</center>
<center>PA = r - PB</center>
<center><b> PA + PB = r (**)
</b></center>
da quest'ultima espressione, essendo r costante sai che la somma delle distanze P da A e B è costante, ma questa è proprio la definizione di un'ellisse i cui fuochi sono A e B!!!
a questo punto è facile trovare l'equazione del luogo geometrico..
tu sai infatti che in un'ellisse K = 2a, giusto? in questo caso K = r,quindi:
r = 2a; (***)
a = r/2;
<font color=red>a^2 = r^2/4</font id=red>
c = 1 perchè le ascisse dei fuochi in valore assoluto danno proprio 1
<font color=red>b^2 = a^2 - c^2 = (r^2 - 4)/4</font id=red>
ora possiamo scrivere l'equazione dell'ellisse con estrema facilità:
<center><font color=blue>x^2/(r^2/4) + y^2/[(r^2 - 4)/4] = 1</font id=blue></center>
forse è difficile da vedere..ti consiglio di riscriverla su un foglio..
questo era il primo metodo, come hai visto è piuttosto semplice, però c'è un altro metodo...io credo che ti sia richiesto questo...altrimenti che gusto c'è?? no??
questa volta non ripetiamo tutto il discorso fatto all'inizio, ma partiamo dall'espressione (**), ovvero:
<center>PA + PB = r</center>
ora scriviamo analiticamente AB e PB utilizzando le formule della distanza punto-punto, ok?
<b>PA</b> = sqrt[ (Xp - Xa)^2 + (Yp - Ya)^2 ]=<b>sqrt[ (x+1)^2 + y^2 ]</b>
analogamente
<b>PB</b> = sqrt[ (Xp - Xb)^2 + (Yp - Yb)^2 ]=<b>sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]</b>
sostituisci ora nell'espressione (**) e ottieni
PA più PB = r
sqrt[ (x + 1)^2 + y^2 ] + sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]= r
eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione
(sqrt[ (x + 1)^2 + y^2 ] + sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ])^2 = r^2
svolgi il quadrato al primo membro
(x+1)^2 + y^2 + (x-1)^2 + y^2 + 2*sqrt[ (x+1)^2+y^2 ]*sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]= r^2
fai un po' di calcoli..
isoli i radicali a sinistra dell'equazione e ottieni:
2*sqrt[ (x+1)^2 + y^2 ]*sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]= r^2 -2x^2 -2y^2 -2
conviene raccogliere al secondo membro...
2*sqrt[ (x+1)^2 + y^2 ]*sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]=(r^2 - 2x^2)-2(y^2+1)
eleviamo ancora una volta al quadrato entrambi i membri in modo da non far comparire più radicali..che sono tanto "brutti"!!!
4*[ (x+1)^2 + y^2 ]*[ (x-1)^2 + y^2 ]= (r^2 - 2x^2)^2 + 4(y^2+1)^2 - 4*(r^2 - 2x^2)(y^2+1)
salto un po' di conti.. tu cerca di farli bene..e attento a scrivere bene le potenze..io ho sempre sbagliato per quello...
cmq...fatte le dovute semplificazioni...otterrai questo:
r^4 - 4r^2x^2 - 4r^2y^2 - 4r^2 + 16x^2 = 0
ora isola a sinistra i termini in cui non compaiono x e y
r^4 - 4r^2 = 4r^2x^2 - 16x^2 + 4r^2y^2
raccogli
r^2(r^2 - 4) = 4x^2(r^2 - 4) + 4r^2y^2
dividi tutto per r^2(r^2 - 4) e semplifichi, ottieni:
4x^2/r^2 + 4y^2/(r^2 - 4) =1
che scritto in maniera diversa dà miracolosamente la stessa equazione trovata prima per l'ellisse:
<center><font color=blue><font size=6>x^2/(r^2/4) + y^2/[(r^2 - 4)/4] = 1</font id=size6></font id=blue></center>
ora per dimostrare che i fuochi sono proprio A e B è sufficiente calcolare c...
c^2 = a^2 - b^2=....fai i conti...=1
quindi <b>c=±1</b> che sono esattamente le ascisse di A e B!!
...<b>finalmente</b> abbiamo finito la prima parte del problema....
per poter passare alla seconda è necessario conoscere la formula per calcolare l'area dell'ellisse...si trova studiando la trasformazione che porta dalla circonferenza x^2 + y^2 =1 all'equazione di un'ellisse generica...ma la dimostrazione non te la faccio anche perchè la puoi trovare sicuramente sul tuo libro di testo!!
immagino che tu faccia il corso sperimentale di informatica e che quindi hai in adozione come libro di testo FORMATspe1, giusto? io ho trovato la dimostrazione in fondo agli esercizi, precisamente a pag.328 se hai la nuova edizione...
cmq...la formula per calcolare l'area dell'ellisse è:
Aell = pi*a*b dove pi sta per P greco=3,1416..
Acerchio = pi*r^2
bisogna risolvere questa equazione
<center>Aell = 1/16 Acerchio</center>
<center>pi*a*b = 1/16 (r^2*pi)</center>
ora se ti ricordi al punto (***) avevamo detto che r=2a, sostituisci..
e semplifica i pi..
<center>ab = 1/16 * 4a^2</center>
semplifica e sistema il tutto per ottenere
<center>4 = a/b</center>
eleva al quadrato entrambi i membri
<center>16 = (1/4 r^2)/1/4(r^2 - 4)</center>
semplifica 1/4...e moltiplica per (r^2 - 4)...
<center> 16*(r^2 - 4)= r^2 </center>
fai i dovuti conti...
<center>r^2 = 64/15</center>
<center><font color=green><font size=6>r = 8/sqrt(15)</font id=size6></font id=green></center>
tutto chiaro???
ciao alla prossima...
il vecchio
Modificato da - vecchio il 14/08/2003 17:55:33
anche questa volta c’ho messo un po’ più tempo perché ho sbagliato i conti almeno cinque volte cmq…
come hai visto ho sempre il problema del disegno che non so come inserire dunque cerco di spiegarmi bene a parole..
ci sono due modi per affrontare la prima parte del problema, te li spiego entrambi ma il secondo è senza dubbio più matematico e…complesso…
cominciamo col primo…hai costruito la figura?bene…io ho chiamato, come diceva il testo, A(-1;0),B(1;0),
P(x;y) e T un punto a caso della circonferenza di centro B.
Ok?
ricordiamo che <b>r>2</b>
ora facciamo questo ragionamento:
<center>PA = PT (*)</center>
<center>per ipotesi..lo richiede il problema</center>
<center>PB = BT - PT</center>
<center>per costruzione</center>
<center>BT = r</center>
<center>perchè T per ipotesi è un punto della circonferenza e B ne è il centro</center>
<center>PB = r - PT</center>
<center>PT = r - PB</center>
<center>poi considerando il punto (*)</center>
<center>PA = r - PB</center>
<center><b> PA + PB = r (**)
</b></center>
da quest'ultima espressione, essendo r costante sai che la somma delle distanze P da A e B è costante, ma questa è proprio la definizione di un'ellisse i cui fuochi sono A e B!!!
a questo punto è facile trovare l'equazione del luogo geometrico..
tu sai infatti che in un'ellisse K = 2a, giusto? in questo caso K = r,quindi:
r = 2a; (***)
a = r/2;
<font color=red>a^2 = r^2/4</font id=red>
c = 1 perchè le ascisse dei fuochi in valore assoluto danno proprio 1
<font color=red>b^2 = a^2 - c^2 = (r^2 - 4)/4</font id=red>
ora possiamo scrivere l'equazione dell'ellisse con estrema facilità:
<center><font color=blue>x^2/(r^2/4) + y^2/[(r^2 - 4)/4] = 1</font id=blue></center>
forse è difficile da vedere..ti consiglio di riscriverla su un foglio..
questo era il primo metodo, come hai visto è piuttosto semplice, però c'è un altro metodo...io credo che ti sia richiesto questo...altrimenti che gusto c'è?? no??
questa volta non ripetiamo tutto il discorso fatto all'inizio, ma partiamo dall'espressione (**), ovvero:
<center>PA + PB = r</center>
ora scriviamo analiticamente AB e PB utilizzando le formule della distanza punto-punto, ok?
<b>PA</b> = sqrt[ (Xp - Xa)^2 + (Yp - Ya)^2 ]=<b>sqrt[ (x+1)^2 + y^2 ]</b>
analogamente
<b>PB</b> = sqrt[ (Xp - Xb)^2 + (Yp - Yb)^2 ]=<b>sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]</b>
sostituisci ora nell'espressione (**) e ottieni
PA più PB = r
sqrt[ (x + 1)^2 + y^2 ] + sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]= r
eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione
(sqrt[ (x + 1)^2 + y^2 ] + sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ])^2 = r^2
svolgi il quadrato al primo membro
(x+1)^2 + y^2 + (x-1)^2 + y^2 + 2*sqrt[ (x+1)^2+y^2 ]*sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]= r^2
fai un po' di calcoli..
isoli i radicali a sinistra dell'equazione e ottieni:
2*sqrt[ (x+1)^2 + y^2 ]*sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]= r^2 -2x^2 -2y^2 -2
conviene raccogliere al secondo membro...
2*sqrt[ (x+1)^2 + y^2 ]*sqrt[ (x-1)^2 + y^2 ]=(r^2 - 2x^2)-2(y^2+1)
eleviamo ancora una volta al quadrato entrambi i membri in modo da non far comparire più radicali..che sono tanto "brutti"!!!
4*[ (x+1)^2 + y^2 ]*[ (x-1)^2 + y^2 ]= (r^2 - 2x^2)^2 + 4(y^2+1)^2 - 4*(r^2 - 2x^2)(y^2+1)
salto un po' di conti.. tu cerca di farli bene..e attento a scrivere bene le potenze..io ho sempre sbagliato per quello...
cmq...fatte le dovute semplificazioni...otterrai questo:
r^4 - 4r^2x^2 - 4r^2y^2 - 4r^2 + 16x^2 = 0
ora isola a sinistra i termini in cui non compaiono x e y
r^4 - 4r^2 = 4r^2x^2 - 16x^2 + 4r^2y^2
raccogli
r^2(r^2 - 4) = 4x^2(r^2 - 4) + 4r^2y^2
dividi tutto per r^2(r^2 - 4) e semplifichi, ottieni:
4x^2/r^2 + 4y^2/(r^2 - 4) =1
che scritto in maniera diversa dà miracolosamente la stessa equazione trovata prima per l'ellisse:
<center><font color=blue><font size=6>x^2/(r^2/4) + y^2/[(r^2 - 4)/4] = 1</font id=size6></font id=blue></center>
ora per dimostrare che i fuochi sono proprio A e B è sufficiente calcolare c...
c^2 = a^2 - b^2=....fai i conti...=1
quindi <b>c=±1</b> che sono esattamente le ascisse di A e B!!
...<b>finalmente</b> abbiamo finito la prima parte del problema....
per poter passare alla seconda è necessario conoscere la formula per calcolare l'area dell'ellisse...si trova studiando la trasformazione che porta dalla circonferenza x^2 + y^2 =1 all'equazione di un'ellisse generica...ma la dimostrazione non te la faccio anche perchè la puoi trovare sicuramente sul tuo libro di testo!!
immagino che tu faccia il corso sperimentale di informatica e che quindi hai in adozione come libro di testo FORMATspe1, giusto? io ho trovato la dimostrazione in fondo agli esercizi, precisamente a pag.328 se hai la nuova edizione...
cmq...la formula per calcolare l'area dell'ellisse è:
Aell = pi*a*b dove pi sta per P greco=3,1416..
Acerchio = pi*r^2
bisogna risolvere questa equazione
<center>Aell = 1/16 Acerchio</center>
<center>pi*a*b = 1/16 (r^2*pi)</center>
ora se ti ricordi al punto (***) avevamo detto che r=2a, sostituisci..
e semplifica i pi..
<center>ab = 1/16 * 4a^2</center>
semplifica e sistema il tutto per ottenere
<center>4 = a/b</center>
eleva al quadrato entrambi i membri
<center>16 = (1/4 r^2)/1/4(r^2 - 4)</center>
semplifica 1/4...e moltiplica per (r^2 - 4)...
<center> 16*(r^2 - 4)= r^2 </center>
fai i dovuti conti...
<center>r^2 = 64/15</center>
<center><font color=green><font size=6>r = 8/sqrt(15)</font id=size6></font id=green></center>
tutto chiaro???
ciao alla prossima...
il vecchio
Modificato da - vecchio il 14/08/2003 17:55:33
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da vecchio » 21/08/2003, 22:32
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Modificato da - vecchio il 21/08/2003 23:46:40
Modificato da - vecchio il 21/08/2003 23:49:43
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