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Oggi mi è venuto un dubbio atroce svolgendo gli integrali e credo di commettere un errore piuttosto grave nella loro risoluzione, ma vorrei avere una conferma da voi...

Ecco l'ntegrale in cui mi sono impappinato!!

$\int 1/(sqrtx) * sin root(4)(x) dx$

Il primo passaggio che ho fatto è stato quello di integrare per parti:

$g'(x) = 1/(sqrtx)$
$g (x) = 2sqrtx$

$f(x) = sin root(4)(x)$
$f'(x) = 1/(4root(4)(x^3))*cos root(4)(x) $

Quindi ho integrato e sono arrivato a questo punto:

$2sqrtx - sin root(4)(x) - \int 2*sqrtx*1/(4*root(4)(x^3))* cos root(4)(x) dx$

Ora io pensavo di sostituire:

$ u = root(4)(x)$
$du = 1/(4*root(4)(x^3)) dx$

e $sqrt x = u^2$

Poi avrei:

$2sqrtx - sin root(4)(x) - \int u^2 * cos u du$

Da qui integro per parti fino ad annullare l'esponente di u... Ma non credo sia molto corretto!


Vi ringrazio per l'attenzione e per l'aiuto!!

Perché non sostituire subito?

$\int 1/(sqrtx) * sin root(4)(x) dx$ posto $root(4)(x)=u$, ottieni $1/(4root(4)(x^3))dx=du$ da cui $dx=4u^3 du$
sostituendo $\int 1/(u^2) *4u^3 sin u du$ prima semplifichi e poi per parti, così ti risparmi ben due integrazioni per parti.

Ti ringrazio... In effetti devo ancora imparare a individuare bene le sostituzioni più vantaggiose da fare!

Il risultato mi viene

$4sin root(4)(x)-4cosroot(4)(x)*root(4)(x)$

E' giusto?

Volevo anche chiederti altre due cose molto rapide:
a) il procedimento da me adottato precedentemente, sebbene più lungo, è ugualmente corretto?
b) Un passaggio nel mio procedimento mi lascia più di un dubbio ed è alla sesta riga (dopo: "Quindi ho integrato e sono arrivato a questo punto: "). E' giusta la sostituzione in quella circostanza? E' lecito procedere in questo modo?

Grazie ancora infinite per l'aiuto che mi hai dato in questo topic e in tutti gli altri che ho aperto!

Ruci ha scritto:Il risultato mi viene $4sin root(4)(x)-4cosroot(4)(x)*root(4)(x)$ E' giusto?

Aggiungendo $+c$ sì

Ruci ha scritto:Volevo anche chiederti altre due cose molto rapide:
a) il procedimento da me adottato precedentemente, sebbene più lungo, è ugualmente corretto?

Sì

Ruci ha scritto:b) Un passaggio nel mio procedimento mi lascia più di un dubbio ed è alla sesta riga (dopo: "Quindi ho integrato e sono arrivato a questo punto: "). E' giusta la sostituzione in quella circostanza? E' lecito procedere in questo modo?

Sì