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$ lim_(x ->0) ( sin 3x+sin 5x ) / (1-cos 8x) $

Naturalmente forma indeterminata 0/0 e dovrò fra i 2 casi 0+ e 0- in quanto 0 non è nel dominio ma è p. accumulazione . I risultati sono + - $ oo $
Ho provato a trasformarlo in
$ lim_(x ->0) ( sin 3x+sin 5x ) / (2sin^2 4x) $

Ma poi non so come continuare .. Vi ringrazio anticipatamente.. ne sto uscendo pazzo..

al numeratore sento puzza di formule di prostaferesi/werner. Ora non me le ricordo, ma così ad istinto dovrebbe uscirti un seno di 4x da poter semplificare. vedi cosa ti rimane che magari cancelli ancora qualcosa sviluppando il seno di 4x che ti rimane al denominatore come $sen2x cos2x$. se riesci a togliere dal numeratore o dal denominatore tutti i fattori che valgono 0 in 0 sei apposto, dovresti aver eliminato la singolarità e rimosso l'indeterminazione. Dato i risultati che posti, direi che dovresti riuscire a semplificare i fattori che si annullano che stanno al numeratore.

giacor86 ha ragione: è proprio una situazione in cui si può applicare la formula di prostaferesi :
$senp+senq=2sen(p+q)/2 cos (p-q)/2$ed ottieni : $2sen4xcos2x$, e quindi puoi semplificare con il denominatore

P.S. è cos $(p-q)/2 $; non so perchè è venuto scritto in quel modo

Io lascerei stare la prostaferesi e procederei così
$ lim_(x ->0) ( x(3*(sin 3x)/(3x)+5*(sin 5x)/(5x) )) / (x*(2sin4x*4*(sin 4x)/(4x)) $ semplifico le x e applico il limite notevole $ lim_(f(x) ->0) (sin f(x))/(f(x))=1$. Viene $(3+5)/(2*0*4)=oo$

Ho provato e si arriva abbastanza in fretta al risultato anche con prostaferesi (il numeratore contiene $cosx$ non $cos2x$). Di certo però il tuo è molto più elegante e soprattutto non si basa su quelle formulacce irricordabili.

$lim (sin 3x + sin 5x) /(1-cos 8x)$

io partirei dalla trasformazione di mariopre71

$lim_(h->0)(sin 3x + sin 5x) /[2(sin 4x)^2]$
$lim_(h->0) x[3(sin 3x)/(3x) + 5(sin 5x)/(5x)] /[2(4x*(sin 4x)/(4x))^2]$
$lim_(h->0) x[3(sin 3x)/(3x) + 5(sin 5x)/(5x)] /[2*16x^2((sin 4x)/(4x))^2]$
$lim_(h->0) [3(sin 3x)/(3x) + 5(sin 5x)/(5x)] /[32x((sin 4x)/(4x))^2]$
$lim_(h->0) (1/(32x))*{[3(sin 3x)/(3x) + 5(sin 5x)/(5x)] /[((sin 4x)/(4x))^2]}$
$lim_(h->0^+) (1/(32x))*{[3(sin 3x)/(3x) + 5(sin 5x)/(5x)] /[((sin 4x)/(4x))^2]}= +infty$
$lim_(h->0^-) (1/(32x))*{[3(sin 3x)/(3x) + 5(sin 5x)/(5x)] /[((sin 4x)/(4x))^2]}= -infty$