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Salve a tutti potreste aiutarmi perfavore a risolvere questo problema di trigonometria?non riesco a risolverlo.

Si conduca internamente a un angolo retto A$O^$B una semiretta OC che forma con OA un angolo A$O^$C=x; presi rispettivamente su OA ed OB due punti M e N tali che OM=1, ON= $sqrt3$, siano M' e N' le rispettiva proiezioni di M ed N su OC. Detto P il punto medio di M'N', si determini in funzione di x l'area del trinaoglo NOP. Si rappresenti in un sistema di riferimento cartesiano la funzione A( x) così ottenuta e si determini poi per quale valore di x l'area del triangolo NOP risulta massima.

Dunque io sono riuscito a trovare poche cose:chiamo con $alpha$ l'angolo in O del triangolo ONN'=90-x,$N^'$=90,mentre $N^$=180-[(90-x)+90]=x,NN'=$sqrt3$*cosx,ON'=$sqrt3$*sinx,$M^'$=90,$M^$=180-(90+x).

poi nn so come andare avanti

Hai calcolato ON'; osservando il triangolo rettangolo OMM' calcoli anche OM' e poi OP che è la loro media. A questo punto conosci due lati e l'angolo compreso del triangolo NOP e ne calcoli l'area con l'apposito teorema.

quindi OM'=cosx,OP=cosx+ $(sqrt3sinx-cosx)/2$
l'area sarebbe allora: $1/2$*$(sqrt3sinx-cosx)/2$*$sqrt3$*sin$alpha$,è giusto?

e la x come la trovo?

Non capisco il tuo $alpha$: si ha $N \hat O N'=90^o-x$ e $O \hatN N'=x$.
Attenzione all'area: è $1/2*ON*OP*sin(90^o-x)$.
La x non la trovi: il problema chiede il grafico di A(x) e il suo massimo.

il problema vuole il valore dell'area e poi rappresentarla sul grafico

Certo che vuole l'area, ma in funzione di x. Se per esempio tu trovassi area=5, come potresti rappresentarla sul grafico? (Bé, una retta parallela all'asse x, ma è evidente che non è quello che si vuole)

ma quindi l'area che è uscita a me è giusta? se si come faccio a rappresentarla e cosa intende per area massima?

No, l'area non è giusta perchè hai usato una formula sbagliata per OP; inoltre non devi usare $alpha$.
Quanto alle altre domande, costituiscono un problema di analisi: o conosci questa parte della matematica (e allora le tue domande diventano assurde), oppure non puoi rispondere (con qualche rara eccezione, che mi pare qui non ci sia)

e come sarebbe allora l'esatta risoluzione?

$OP=cosx+ (sqrt3sinx-cosx)/2=(sqrt3sinx+cosx)/2$
per cui l'area viene allora: $1/2*(sqrt3sinx+cosx)/2*sqrt3*sin(90-x)$

ricordando che
$sin (90-x)=cosx$
$sinx*cosx=1/2 sin(2x)$ e
$cos^2 x=1/2 (cos2x+1)$

l'area diventa $A=sqrt3/4*(sqrt3 sinxcosx+cos^2x)=sqrt3/4*(sqrt3/2 sin2x+1/2cos2x+1/2)$
ma $sqrt3/2=cos 30$ e $1/2=sin 30$ perciò
$A=sqrt3/4*(cos 30 sin2x+sin 30 cos2x+1/2)=sqrt3/4*sin(2x+30)+sqrt3/8$ funzione della quale non è particolarmente difficile trovare il massimo